Zadanie z parametrem
- szczepanik89
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 6 razy
Zadanie z parametrem
Dla jakich wartosci parametru m zbiorem wartosci funkcji \(\displaystyle{ f(x)= (m-4)x^{2} - (2-m)x +1 +0,5m}\) jest zbior \(\displaystyle{ Y_{f}= }\)
Ostatnio zmieniony 1 sie 2007, o 15:52 przez szczepanik89, łącznie zmieniany 1 raz.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Zadanie z parametrem
Wykresem musi być parabola (łatwo wykluczyć przypadek \(\displaystyle{ m - 4 = 0}\)) o ramionach 'skierowanych do góry' i współrzędnej \(\displaystyle{ y}\) wierzchołka równej \(\displaystyle{ \frac{5}{4}}\).
Czyli musi być:
\(\displaystyle{ m - 4> 0 \ \wedge \ y_{w} = \frac{5}{4}}\)
Czyli musi być:
\(\displaystyle{ m - 4> 0 \ \wedge \ y_{w} = \frac{5}{4}}\)
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Zadanie z parametrem
znajdujemy punkt przegięcia paraboli (oczywiście m > 4)
\(\displaystyle{ f'(x)=2x(m-4)-(2-m)}\), stąd \(\displaystyle{ x=\frac{(2-m)}{2(m-4)}}\)
musimy znaleźć takie m, żeby spełnione było równanie:
\(\displaystyle{ \frac{(2-m)^2}{4(m-4)}-\frac{(2-m)^2}{2(m-4)}+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}}\)
przekształcamy i dostajemy:
\(\displaystyle{ (2-m)^2=(m-4)}\)
hmm... wychodzi, że nie ma takiego m. Może źle przepisałeś równanie?
\(\displaystyle{ f'(x)=2x(m-4)-(2-m)}\), stąd \(\displaystyle{ x=\frac{(2-m)}{2(m-4)}}\)
musimy znaleźć takie m, żeby spełnione było równanie:
\(\displaystyle{ \frac{(2-m)^2}{4(m-4)}-\frac{(2-m)^2}{2(m-4)}+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}}\)
przekształcamy i dostajemy:
\(\displaystyle{ (2-m)^2=(m-4)}\)
hmm... wychodzi, że nie ma takiego m. Może źle przepisałeś równanie?
- szczepanik89
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 6 razy
Zadanie z parametrem
[ Dodano: 1 Sierpnia 2007, 15:53 ]
sorka w jednym miejscu m nie zauwazylem;/ ale jak to zrobic?
sorka w jednym miejscu m nie zauwazylem;/ ale jak to zrobic?
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Zadanie z parametrem
Najpierw przeczytaj dokładniej instrukcję TeX-a, tam jest pokazane jak ładnie pisać ułamki, znak nieskończoności też jest. Rozwiązanie podał Ci już max. Po pierwsze wiemy, że nasza funkcja kwadratowa jest ograniczona od dołu, czyli ma ramiona skierowane do góry - a>0. Po drugie, posiada wartość minimalną i wynosi ona 1,25 - jest to współrzędna igrekowa naszego wierzchołka. Czyli
\(\displaystyle{ a) \ m-4>0 \\ m>4 \\ b) \ y_{w}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4(m-4)(1+\frac{1}{2}m)-(2-m)^2}{4(m-4)} \\ y_{w}={2m^2-4m-16-16-(4-4m+m^2)}{4(m-4)}=\frac{m^2-20}{4(m-4)}=\frac{5}{4} \\ \frac{m^2-20}{m-4}=5 \\ m^2-20=5m-20 \\ m^2-5m=0 \\ m(m-5)=0 \\ ((m=0 \ \vee \ m=5) \ \wedge \ m>4) \ \ m \lbrace 5 \rbrace}\)
Odp: Funkcja przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ Y_{f}=\langle \frac{5}{4}, +\infty)}\) dla m=5.
Edit: Ehh sorki, pospieszyłem się trochę, dzięki max za uważne czytanie, teraz już jest dobrze
\(\displaystyle{ a) \ m-4>0 \\ m>4 \\ b) \ y_{w}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4(m-4)(1+\frac{1}{2}m)-(2-m)^2}{4(m-4)} \\ y_{w}={2m^2-4m-16-16-(4-4m+m^2)}{4(m-4)}=\frac{m^2-20}{4(m-4)}=\frac{5}{4} \\ \frac{m^2-20}{m-4}=5 \\ m^2-20=5m-20 \\ m^2-5m=0 \\ m(m-5)=0 \\ ((m=0 \ \vee \ m=5) \ \wedge \ m>4) \ \ m \lbrace 5 \rbrace}\)
Odp: Funkcja przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ Y_{f}=\langle \frac{5}{4}, +\infty)}\) dla m=5.
Edit: Ehh sorki, pospieszyłem się trochę, dzięki max za uważne czytanie, teraz już jest dobrze
Ostatnio zmieniony 1 sie 2007, o 18:39 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Zadanie z parametrem
Sylwek - skorzystałeś z wzoru na odciętą wierzchołka, a nam chodzi o rzędną:
\(\displaystyle{ y_{w} = f(x_{w}) = \frac{-\Delta}{4a}}\)
\(\displaystyle{ y_{w} = f(x_{w}) = \frac{-\Delta}{4a}}\)
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Zadanie z parametrem
no to teraz (po poprawieniu równania) wyszło mi m=5 - sposobem jaki zaprezentowałem.
Ekstremum jest to samo, zatem po wstawieniu do równani mamy:
\(\displaystyle{ \frac{(2-m)^2}{4(m-4)}-\frac{(2-m)^2}{2(m-4)}+1+\frac{m}{2}=\frac{5}{4}}\)
co po uproszczeniach daje:
\(\displaystyle{ \frac{m}{2}-\frac{(2-m)^2}{4(m-4)}=\frac{1}{4} \\
2m(m-4)-(m-2)^2=m-4 \\
m^2-5m=0
m(m-5)=0}\)
A więc rozwiązaniem jest m=5
Ekstremum jest to samo, zatem po wstawieniu do równani mamy:
\(\displaystyle{ \frac{(2-m)^2}{4(m-4)}-\frac{(2-m)^2}{2(m-4)}+1+\frac{m}{2}=\frac{5}{4}}\)
co po uproszczeniach daje:
\(\displaystyle{ \frac{m}{2}-\frac{(2-m)^2}{4(m-4)}=\frac{1}{4} \\
2m(m-4)-(m-2)^2=m-4 \\
m^2-5m=0
m(m-5)=0}\)
A więc rozwiązaniem jest m=5
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Zadanie z parametrem
Warto zauważyć, że do wyznaczenia tego ekstremum nie potrzeba rachunku różniczkowego:
\(\displaystyle{ y_{w} = f(x_{w}) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)}\)
i otrzymujemy taki sam wynik jak w poście powyżej, a to, że:
\(\displaystyle{ x_{w} = -\frac{b}{2a}}\)
wynika z przekształcenia trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ ax^{2} + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a}}\)
\(\displaystyle{ y_{w} = f(x_{w}) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)}\)
i otrzymujemy taki sam wynik jak w poście powyżej, a to, że:
\(\displaystyle{ x_{w} = -\frac{b}{2a}}\)
wynika z przekształcenia trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ ax^{2} + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a}}\)
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Zadanie z parametrem
Według mojej wiedzy parabola nie ma punktów przegięcia!scyth pisze:...znajdujemy punkt przegięcia paraboli..
Pozdrawiam
PS. Z definicji punktem przegięcia krzywej nazywamy punkt przejścia tej krzywej z wypukłości we wklęsłość lub z wklęsłości w wypukłość