punkty skupienia

[Hania_87]

\(\displaystyle{ A=\{ (x,\sin \frac{1}{x}),\quad x\in R \backslash \{0\} \}}\)

Te zadanie polega na wyznaczeniu punktów skupienia. proszę o rozwiązanie tego zadania jak dla przedszkolaka. Z góry dziękuję

[Anathemed]

Przydałoby się chyba jakąś metrykę dla tych przedziałów określić. Jaką mamy metrykę?

[Hania_87]

W zadaniu nie było podane jaka ma być metryka. Wydaje mi się , że euklidesowa.

[(Bialy)]

Po pierwsze zauwaz, ze domkniecie zbioru \(\displaystyle{ A}\) to \(\displaystyle{ A \cup \{0\}\times[-1,1]}\), gdyz zbior \(\displaystyle{ A}\) jest wykresem funkcji \(\displaystyle{ y=\sin(\frac{1}{x})}\) (w odpowiedniej dziedzinie) i w poblizu \(\displaystyle{ 0}\) wykres ten coraz gesciej "skacze" od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\) (sprobuj narysowac sobie ten wykres, a zobaczysz o co chodzi).
Nastepnie zauwaz, ze zbior punktow skupienia jest rowny domknieciu zbioru \(\displaystyle{ A}\), co jest juz raczej dosc latwe.
Pozdrawiam

[Hania_87]

Widzę jak wygląda wykres. Chodzi mi o to jak to napisać (rozpisać). Czyli punktem skupienia jest [-1;1] z {0}

[ Dodano: 29 Lipca 2007, 17:16 ]
tzn bez {0} , bo z liczb rzeczywistych jest wyrzucone zero.
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=39391 a tu dlaczego jest z {0}?

[(Bialy)]

Widzę jak wygląda wykres. Chodzi mi o to jak to napisać (rozpisać). Czyli punktem skupienia jest [-1;1] z {0}

[ Dodano: 29 Lipca 2007, 17:16 ]
tzn bez {0} , bo z liczb rzeczywistych jest wyrzucone zero.
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=39391 a tu dlaczego jest z {0}?

Wydaje mi sie ze nie do konca wiesz czym sa punkty skupienia danego zbioru w danej topologii.
Jedna z definicji jest taka \(\displaystyle{ a \in A^{d} \iff a\in \overline{A\backslash\{a\}}}\). Wprost z definicji widac, ze \(\displaystyle{ \overline{A}\backslash A \subseteq A^{d}}\).
Nastepna uwaga jest taka, ze nie jestem pewny czy zauwazylas ze nasz zbior \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\). Moze to jest oczywiste, ale pisze to dlatego, bo kompletnie nie zrozumialem tego co napisalas o punkcie \(\displaystyle{ \{0\}}\). My pracujemy na plaszczyznie, a nie na prostej, wobec tego kazdy punkt ma 2 wspolrzedne, zatem nie ma czegos takie jak punkt \(\displaystyle{ \{0\}}\) (oczywiscie mozna umownie nazywac poczatek ukladu wsp jako punkt \(\displaystyle{ \{0\}}\), ale Tobie raczej o to nie chodzilo?). Skoro zatem wiemy, ze \(\displaystyle{ \overline{A}\backslash A \subseteq A^{d}}\), to wystarczy nam sprawdzic, czy jakis podzbior \(\displaystyle{ A}\) nie zawiera sie w zbiorze punktow skupienia tego zbioru. W naszym przypadku oczywiscie kazdy punkt ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest punktem skupienia, stad zbior wszystkich punktow skupienia, to \(\displaystyle{ A \cup \{0\} \times [-1,1]}\). Caly czas mowilem tu o zadaniu z tego posta. Jesli to zrozumiesz, zrozumiesz rowniez odpowiedz Sir George'a.
Pozdrawiam
P.S. Jeszcze jadno. Caly czas piszesz punkt skupienia. Nie mowimy tu o jednym punkcie skupienia ale o "calej kupie" punktow skupienia Zbior wszystkich punktow skupienia danego zbioru nazywany jest czasem pochodna tegoz zbioru i jest on wlasnie oznaczany poprzez \(\displaystyle{ nazwanaszegozbioru^{d}}\)

[Hania_87]

Powiem szczerze, że nie rozumie tego do końca. Szukałam jakieś książki lub strunki, w której jasno i czytelnie, krok po kroku było to wytłumaczone. Niestety nic nie znalazłam

[Emiel Regis]

Nastepna uwaga jest taka, ze nie jestem pewny czy zauwazylas ze nasz zbior \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\).

...

W naszym przypadku oczywiscie kazdy punkt ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest punktem skupienia, stad zbior wszystkich punktow skupienia, to \(\displaystyle{ A \cup \{0\} [-1,1]}\).

Ja topologię juz chwile temu mialem, jednakże jeśli zrobisz produkt kartezjanski taki jak piszesz to będzie to trójwymiarowy zbiór punktów...
Intuicyjnie odpowiedz to bedzie po prostu: \(\displaystyle{ R [-1,1]}\).
Jednak z w/w względów głowy za nią nie dam.

[liu]

Autor chyba chcial napisac \(\displaystyle{ A \cup ( \{0\}\times [-1,1])}\)

A intuicja chyba szwankuje, bo jakie niby punkty wspolne z wykresem sin1/x ma np. \(\displaystyle{ \mathbb{D}( (666,1/2), 1/666)}\)? (jakikolwiek nieduzy dysk dostatecznie daleko na prawo od zera)

Aha, taki wygodny, zmyslony na szybko lemacik ktory moze byc przydatny do w miare zgrabnego zapisania rozwiazania.
Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rzeczywistą ciągłą na przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\), to \(\displaystyle{ graph(f)\subseteq (a,b)\times \mathbb{R}}\) (wykres funkcji f) jest domknięty.
Dowód: (Radzę namalować) Niech \(\displaystyle{ (x,y)\notin graph(f), x\in (a,b)}\). Z ciągłości f możemy dobrać \(\displaystyle{ \delta>0}\) takie, że \(\displaystyle{ |f(x)-f(p)| < \frac{1}{2}|f(x)-y|}\) o ile tylko \(\displaystyle{ |x-p|}\)

[Hania_87]

co to znaczy \(\displaystyle{ graph}\)

[liu]

Przeciez jest napisane obok - wykres funkcji f, czyli zbior \(\displaystyle{ \{(x,f(x))| x\in (a,b)\}}\)