znajdź a i b

[K4rol]

znajdź a i b wiedząc że suma liczby a i potrojonej liczby b jest równa 36 a ich iloczyn jest największy z możliwych.

[scyth]

Zakładamy, że a i b są naturalne (czy słusznie? tak jest najprościej ).

\(\displaystyle{ a+3b=36}\)
\(\displaystyle{ a=3(12-b)}\)
zatem \(\displaystyle{ a=3k}\), gdzie k jest też naturalne.
Z tego \(\displaystyle{ k+b=12}\) i \(\displaystyle{ kb=max}\).
stąd \(\displaystyle{ k=b=6}\) i \(\displaystyle{ a=18}\).

[setch]

Czemu zakladasz, ze a i b są naturalne?

[ariadna]

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ a+3b=36}\)
czyli
\(\displaystyle{ a=36-3b}\)
Iloczyn
\(\displaystyle{ ab}\)
\(\displaystyle{ S(b)=(36-3b)b}\)
I wystarczy znaleźć maksimum tej funkcji.

[Plant]

\(\displaystyle{ a+3b=36}\)
\(\displaystyle{ a=36-3b}\)

Iloczyn przedstawię funkcją f, (Df=R).
\(\displaystyle{ f(b)=b*(36-3b)}\)
\(\displaystyle{ f(b)=-3b^2+36b}\)
\(\displaystyle{ f'(b)=-6b+36=-(b-6)}\)
Maksimum lokalne funkcji (i zarazem jej wartość największa) jest dla b=6.
b=6, czyli a=18, a największy możliwy iloczyn to 108.

[scyth]

w zasadzie to nie trzeba nic zakładać o a i b, sam nie wiem czemu (może chciałem uprościć rachunki ) tak czy siak jest to 18 i 6.

[max]

Można też trochę inaczej:
z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a + 3b}{2} \geqslant \sqrt{a\cdot 3b}\\
108 \geqslant ab}\)
Przy czym równość zachodzi wtw, gdy \(\displaystyle{ a = 3b}\)
stąd \(\displaystyle{ a = 18, \ b = 6}\)

Ewentualnie można znaleźć pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji podanej przez ariadnę.