Funkcja mająca dwa punkty wspólne z okręgiem

[Sokół]

Dla jakich wartości m wykres funkcji y=x+m ma dwa wspólne punkty z okręgiem o promieniu 1 (J), którego środkiem jest początek układu współrzędnych?

Najpierw oczywiście narysowałem sobie dwie styczne. rozwiązałem opierając się na tym, że kiedy a=1 (y=ax+b), to funkcja przecina oś X pod kątem 45'. Powstał trójkąt prostokątny równoramienny o kątach 90',45' i 45'.
jak na rysunku:


r=1, więc wykres funkcji przecina oś y w punkcie \(\displaystyle{ P=(0,\sqrt{2})}\). A że każda funkcja przecina oś y w punkcie (0,b), to wiem, że jedna styczna musi mieć wzór \(\displaystyle{ y=x+\sqrt{2}}\).

Wzór drugiej ustaliłem tak samo, wyszło, że druga ma wzór \(\displaystyle{ y=x-\sqrt{2}}\)
Stąd \(\displaystyle{ -\sqrt{2} }\)

Jednak to wszystko dzięki temu, że znałem kąt, pod którym te funkcje przecinają oś X. Można to jakoś zrobić innym sposobem?

[wb]

Możesz rozwiązać układ z parametrem;

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} y=x+m\\x^2+y^2=1 \end{array}}\)

który daje równanie kwadratowe z parametrem m:
\(\displaystyle{ x^2+(x+m)^2=1}\)

By spełnione były warunki zadania :
\(\displaystyle{ \Delta >0}\)
co daje to samo rozwiązanie.

[Sokół]

czy \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) jest z równania okręgu? 1 to promień, a x czy y to co to by było? (tzn. w odniesieniu do tego właśnie okręgu - jakiś promień dzielony przez coś, średnica razy coś, itd.)

[wb]

Tak, jest to równanie okręgu o promieniu r=1, zaś x oraz y są to współrzędne punktów leżących na okręgu.

[Sokół]

okej, już rozumiem, współrzędne punktu styczności spełniają warunek \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} y=x+m\\x^2+y^2=1 \end{array}}\). W pierwszej chwili nie wiedziałem dlaczego możemy te dwa równania w układ zrobić. Dziękuję