Granica ciągu..

[6x]

Mam problem z zadaniem :
1.
Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

\(\displaystyle{ u_{n}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{4n^{2}+7n}-2n}}\)

Bardzo prosze o pomoc..

[setch]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4n^2+7n}+2n}{4n^2+7n-4n^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4n^2+7n}+2n}{7n} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4+\frac{7}{n}}+2}{7}=\frac{4}{7}}\)

[6x]

Dzieki bardzo widze juz gdzie zrobilem blad..
A jak obliczyc granice takiego ciagu :

\(\displaystyle{ u_{n}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^{n}}}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^{n}}}}\)

??

[mol_ksiazkowy]

wsk \(\displaystyle{ a_1 +a_1q + a_1q^2 + a_1q^3+....+a_1q^n =a_1 \frac{q^{n+1}-1}{q-1}}\)

[6x]

Jaaasne wychodzi
dzieki )

Ps.
a wzor na sume ciagu geometrycznego nie jest :
\(\displaystyle{ S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\\}\) ??

[Emiel Regis]

Jest.
Przyjrzyj się to zobaczysz że to wbrew pozorom takie same wzory.

[6x]

a jak zrobic takie zadanie :
Oblicz granicę ciągu

\(\displaystyle{ u_{n}}\) = \(\displaystyle{ n(ln(n+1) - lnn).}\)

sorry ze tak zawracam glowe z tymi ciagami

[max]

\(\displaystyle{ \ln (n + 1) - \ln n = \ln \frac{n+1}{n} = \ln (1 + \tfrac{1}{n})\\
\lim_{n\to\infty}u_{n} = \lim_{n\to\infty}\ln(1 + \tfrac{1}{n})^{n} = \ln e = 1}\)