Funkcje odwrotne

[Kamila]

Podaj wzór funkcji odwrotnej do funkcji \(\displaystyle{ f}\):
a)\(\displaystyle{ f(x)=1-\frac{x}{2x+1}}\)
b)\(\displaystyle{ f(x)=3x-|x|}\)
c)\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x}{3-x}}\)
d)\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x-2 &\text{dla }x\in\langle0,3))\\2x &\text{dla } x\in(3,5))\end{cases}}\)

[mol_ksiazkowy]

a(
a)\(\displaystyle{ f(x)=1-\frac{x}{2x+1}}\)
\(\displaystyle{ y=1-\frac{x}{2x+1}}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{1-y}{2y-1}}\)

f odwrotna \(\displaystyle{ y=\frac{1-x}{2x-1}}\)





b)\(\displaystyle{ f(x)=3x-|x|}\)
f odwrotna
d)\(\displaystyle{ y=\begin{cases} \frac{1}{4}x(dla \ x <0))\\\frac{1}{2}x (dla \ x \geq 0)\end{cases}}\)

[Doktor]

b nie ma funkcji odwrotnej bo nie jest to funkcja różnowartościowa, a i nie pamietam czy nie ma jakiegoś warunku na dziedzinę zaraz musze popatrzeć bo matematyki nie dotykałem od matury :p

[setch]

c)
\(\displaystyle{ y=\frac{2x}{3-x}\\
2yx=3-x\\
2yx+x=3\\
x(2y+1)=3\\
x=\frac{3}{2y+1}\\
f(x)^{-1}=\frac{3}{2y+1}}\)

[max]

b nie ma funkcji odwrotnej bo nie jest to funkcja różnowartościowa

Jednak jest różnowartościowa.
\(\displaystyle{ 3x - |x| = \begin{cases}2x, \ x \geqslant 0 \\ 4x, \ x < 0\end{cases}}\)

d) \(\displaystyle{ f^{-1}(x) = \begin{cases}x + 2,& x\in [-2, 1)\\ \frac{1}{2}x, &x\in (6, 10)\end{cases}}\)

btw. dział raczej nie ten...

[JHN]

\(\displaystyle{ a)\quad y=f(x)=1-\frac{x}{2x+1}}\)
Poniewaz funkcja \(\displaystyle{ f}\) odwzorowuje \(\displaystyle{ D=\RR \setminus \left\{{1\over2}\right\}}\) wzajemnie jednoznacznie (róznowartosciowo) na \(\displaystyle{ D^{-1}=\RR\setminus\left\{{1\over2}\right\},}\) więc istnieje funkcja odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}}\) taka, ze
\(\displaystyle{ x=1-\frac{y}{2y+1}\\
2xy+x=2y+1-y\\
(2x-1)y=-x+1\\
y=f^{-1}(x)=\frac{-x+1}{2x-1}}\)

b) \(\displaystyle{ y=f(x)=3x-|x|=\left\{\begin{array}{lcl}4x&\Leftarrow& x<0\\ 2x&\Leftarrow& x\ge 0 \end{array}\right.}\)
Poniewaz funkcja \(\displaystyle{ f}\) odwzorowuje \(\displaystyle{ D=\RR}\) wzajemnie jednoznacznie (róznowartosciowo) na \(\displaystyle{ D^{-1}=\RR,}\) więc istnieje funkcja odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}}\) taka, ze
\(\displaystyle{ y=f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}{1\over4}x&\Leftarrow& x<0\\ {1\over2}x&\Leftarrow& x\ge 0\end{array}\right.}\)

c) Analogicznie jak a).

d) \(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}x-2&\Leftarrow&x\in\langle0,3)\\ 2x&\Leftarrow&x\in(3,5)\end{array}\right.}\)
Poniewaz funkcja \(\displaystyle{ f}\) odwzorowuje D=[\langle0,3)\cup (3,5)] wzajemnie jednoznacznie (róznowartosciowo) na \(\displaystyle{ D^{-1}=[\langle-2,1)\cup(6,10)],}\) więc istnieje funkcja odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}}\) taka, ze
\(\displaystyle{ y=f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{lcl}x+2&\Leftarrow& x\in \langle-2,1)\\\\{1\over2}x&\Leftarrow& x\in (6,10)\end{array}\right.}\)

Pozdrawiam

PS. W b) i d) wspomagałem się wykresami oraz znanym faktem:

Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych sa symetryczne wzgledem prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=x}\)
[edit] poprawka w d)

[Doktor]

a jak jest z dzieniną funkcji odwrotnej w c) ?

[max]

Co do c), to setch pomylił się przy mnożeniu:
\(\displaystyle{ y = \frac{2x}{3 - x}\\
y(3 - x) = 2x\\
3y = 2x + xy\\
x = \frac{3y}{y + 2}\\
f^{-1}(x) = \frac{3x}{x+2}}\)
Dziedziną funkcji odwrotnej jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R} - \{-2\}}\)

[Doktor]

no własnie o to mi chodziło. A czy nie ma znaczenia czy badamy zbiór wartości funkcji f(x) już dziedzinę funkcji odwrotnej ?

[max]

Dziedziną funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ x \mapsto f(x)}\) jest zbiór wartości (przeciwdziedzina) funkcji \(\displaystyle{ f}\), która nie musi się pokrywać ze zbiorem wszystkich \(\displaystyle{ x}\) dla których wzór na \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\) ma sens. Weź chociażby przykład d).