Funkcje odwrotne

Kamila · Post autor: **Kamila** » 30 lip 2007, o 18:51

Podaj wzór funkcji odwrotnej do funkcji \(\displaystyle{ f}\):
a)\(\displaystyle{ f(x)=1-\frac{x}{2x+1}}\)
b)\(\displaystyle{ f(x)=3x-|x|}\)
c)\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x}{3-x}}\)
d)\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x-2(dla x\in\langle0,3))\\2x (dla x\in(3,5))\end{cases}}\)

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 30 lip 2007, o 19:19

a(
a)\(\displaystyle{ f(x)=1-\frac{x}{2x+1}}\)
\(\displaystyle{ y=1-\frac{x}{2x+1}}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{1-y}{2y-1}}\)

f odwrotna \(\displaystyle{ y=\frac{1-x}{2x-1}}\)

b)\(\displaystyle{ f(x)=3x-|x|}\)
f odwrotna
d)\(\displaystyle{ y=\begin{cases} \frac{1}{4}x(dla \ x q 0)\end{cases}}\)

Doktor · Post autor: **Doktor** » 30 lip 2007, o 20:13

b nie ma funkcji odwrotnej bo nie jest to funkcja różnowartościowa, a i nie pamietam czy nie ma jakiegoś warunku na dziedzinę zaraz musze popatrzeć bo matematyki nie dotykałem od matury :p

setch · Post autor: **setch** » 30 lip 2007, o 20:20

c)
\(\displaystyle{ y=\frac{2x}{3-x}\\
2yx=3-x\\
2yx+x=3\\
x(2y+1)=3\\
x=\frac{3}{2y+1}\\
f(x)^{-1}=\frac{3}{2y+1}}\)

max · Post autor: **max** » 30 lip 2007, o 20:30

Doktor pisze:b nie ma funkcji odwrotnej bo nie jest to funkcja różnowartościowa

Jednak jest różnowartościowa.
\(\displaystyle{ 3x - |x| = \begin{cases}2x, \ x qslant 0 \\ 4x, \ x < 0\end{cases}}\)

d) \(\displaystyle{ f^{-1}(x) = egin{cases}x + 2,, x [-2, 1)\ frac{1}{2}x, , xin (6, 10)end{cases}}\)

btw. dział raczej nie ten...

JHN · Post autor: **JHN** » 30 lip 2007, o 20:57

\(\displaystyle{ a)\quad y=f(x)=1-\frac{x}{2x+1}\\
\textrm{ Poniewaz funkcja f odwzorowuje } D=R \setminus ft\{{1\over2}\right\} \\
\textrm { wzajemnie jednoznacznie (róznowartosciowo) na }D^{-1}=R\setminus\left\{{1\over2}\right\}\\
\textrm{ to istnieje funkcja odwrotna } f^{-1} \textrm{ taka, ze }\\\\
x=1-\frac{y}{2y+1}\\\\
2xy+x=2y+1-y\\\\
(2x-1)y=-x+1\\\\
y=f^{-1}(x)=\frac{-x+1}{2x-1}\\\\
\textrm{b) }y=f(x)=3x-|x|=\left\{\begin{array}{lcl}4x&\Leftarrow& x}\)

Doktor · Post autor: **Doktor** » 31 lip 2007, o 09:02

a jak jest z dzieniną funkcji odwrotnej w c) ?

max · Post autor: **max** » 31 lip 2007, o 11:58

Co do c), to setch pomylił się przy mnożeniu:
\(\displaystyle{ y = \frac{2x}{3 - x}\\
y(3 - x) = 2x\\
3y = 2x + xy\\
x = \frac{3y}{y + 2}\\
f^{-1}(x) = \frac{3x}{x+2}}\)
Dziedziną funkcji odwrotnej jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R} - \{-2\}}\)

Doktor · Post autor: **Doktor** » 31 lip 2007, o 12:21

no własnie o to mi chodziło. A czy nie ma znaczenia czy badamy zbiór wartości funkcji f(x) już dziedzinę funkcji odwrotnej ?

max · Post autor: **max** » 1 sie 2007, o 13:45

no własnie o to mi chodziło. A czy nie ma znaczenia czy badamy zbiór wartości funkcji f(x) już dziedzinę funkcji odwrotnej ?

Dziedziną funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ x \mapsto f(x)}\) jest zbiór wartości (przeciwdziedzina) funkcji \(\displaystyle{ f}\), która nie musi się pokrywać ze zbiorem wszystkich \(\displaystyle{ x}\) dla których wzór na \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\) ma sens. Weź chociażby przykład d).