Całki niewłaściwe

[koala]

Bardzo proszę o pomoc w policzeniu tych całek.
1) \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{2+x}dx}\)
2) \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{2x}}{4+x}dx}\)
3) \(\displaystyle{ \int\limits_{-2}^{\infty}\frac{x^{3}}{\sqrt{2+x^{2}}}dx}\)
4) \(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{(5+x)\sqrt{x}}}\)
5) \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{2+x}{2+x^{2}}dx}\)
6) \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{1}\frac{e^{x}+2}{e^{x}-1}dx}\)
W większości problemem jest dla mnie policzenie najpierw całek nieoznaczonych.

[luka52]

Wskazówki do obliczenia całek nieoznaczonych:
ad 1.
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}}{x + 2} = \frac{x}{\sqrt{x} (x + 2)} = \frac{x + 2 - 2}{\sqrt{x} (x + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x} ft( (\sqrt{x})^2 + 2 \right)}}\)
(aby scałkować drugi ułamek, należy podstawić \(\displaystyle{ t = \sqrt{x}}\)

ad 2.
j.w.

ad 3.
Podstaw \(\displaystyle{ t^2 = x^2 + 2}\)

ad 4.
Podstaw \(\displaystyle{ t = \sqrt{x}}\)

ad 5.
\(\displaystyle{ \frac{x+2}{x^2 + 2} = \frac{1}{2} \frac{2x}{x^2 + 2} + \frac{2}{x+2}}\)
Teraz chyba lepiej widać

ad 6.
\(\displaystyle{ \frac{e^x + 2}{e^x - 1} = \frac{e^x(e^x + 2)}{e^x(e^x - 1)}}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ t = e^x}\) sprowadzi całkę, do całki f. wymiernej:
\(\displaystyle{ = t \limits_{0}^e \frac{t + 2}{t (t - 1)} dt = t \limits_{0}^e ft( \frac{3}{t-1} - \frac{2}{t} \right) dt}\)


Mam nadzieję, że teraz nie będziesz miał problemów z obliczeniem tych całek

[koala]

1) i 2) zrobiłem
3) za bardzo nie wiem jak to się z tym podstawieniem robi
4) wyliczyłem
5) teoretycznie wyliczyłem, ale nie wiem czy dobrze. Całka nieoznaczona wyszła: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ln|x^{2}+2|+2ln|x+2|}\) a granica mi wyszła że dąży do \(\displaystyle{ -\infty}\) Dobrze?
6) za bardzo tej wskazówki nie rozumiem; skąd się wzięły przedziały od 0 do e i dlaczego \(\displaystyle{ = t \limits_{0}^e \frac{t + 2}{t (t - 1)} dt = t \limits_{0}^e ft( \frac{3}{t-1} - \frac{2}{t} \right) dt}\) ?

[soku11]

3. Zrobie tylko przeksztalcenie calki nieoznaczonej:
\(\displaystyle{ \int\frac{x^{2}}{\sqrt{2+x^{2}}} x dx\\
x^{2}+2=t^{2}\\
x^{2}=t^{2}-2\\
2xdx=2tdt\\
xdx=tdt\\
t\frac{x^{2}}{\sqrt{2+x^{2}}} x dx=
t\frac{t^{2}-2}{t} t dt=
t(t^{2}-2)dt=
t t^{2}dt-2\int dt=
t t^{2}dt-2\int dt=
\frac{t^{3}}{3}-2t=
t(\frac{t^{2}}{3}-2)=
\sqrt{x^{2}+2}(\frac{x^{2}+2}{3}-2)=
\frac{(x^{2}-4)\sqrt{x^{2}+2}}{3}}\)


POZDRO

[luka52]

Co do 5, to pardon, ale nie zauważyłem u siebie błędu, powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \frac{2x}{x^2 + 2} + \frac{2}{x^2 + 2}}\)
i teraz całkować

a w 6, takie przedziały, bo gdy:
\(\displaystyle{ x \to - }\) to \(\displaystyle{ t \to 0 \quad ft( t = e^{-\infty} \right)}\)
I analogicznie druga granica całkowania.

[soku11]

Hmpf... A czy czasami, gdy:
\(\displaystyle{ x \to + }\) to \(\displaystyle{ t \to +\infty}\) ??
Z wykresu nawet mozna to odczytac... POZDRO

[koala]

3) zrobiłem
5) poprawiłem i wychodzi mi granica \(\displaystyle{ \infty-\infty}\)To teraz mam tw. de L'Hospitala zastosować? Próbowałem i mi 0 wyszło a powinna \(\displaystyle{ \infty}\) ??:
6) dalej nie rozumiem Można by jakoś tak krok po kroku?

[luka52]

soku11, granicami całkowania w 6 są \(\displaystyle{ -\infty}\) i 1.

Jeszcze raz 6:
Jeżeli podstawimy \(\displaystyle{ t = e^x}\), to gdy \(\displaystyle{ x \to - }\) mamy, że \(\displaystyle{ t \to 0}\). Natomiast, gdy \(\displaystyle{ x \to 1}\), to \(\displaystyle{ t \to e}\) - wystarczy podstawić za x odpowiednią wartość w wyrażeniu \(\displaystyle{ t = e^x}\). Czyli wyznaczyliśmy "nowe" granice całkowania.
Całka przyjumuje postać:
\(\displaystyle{ \int \limits_{0}^e \frac{t + 2}{t (t - 1)} dt = t \limits_{0}^e ft( \frac{3}{t-1} - \frac{2}{t} \right) dt = \ldots}\)

[ Dodano: 29 Lipca 2007, 23:54 ]
Natomiast 5 IMHO powinno się przedstawić jako:
\(\displaystyle{ = t\limits_{- }^{- \sqrt{2}} \frac{x+2}{x^2 + 2} dx + t\limits_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{x+2}{x^2 + 2} dx + t\limits_{\sqrt{2}}^{+ } \frac{x+2}{x^2 + 2} dx}\)
I można zauważyć, że całka jest rozbieżna.

[koala]

Wielkie dzięki! Teraz już wszystko jasne. Mam jeszcze pytania a propos takich całek:
1) \(\displaystyle{ \int\limits_{-2}^{0}\frac{x}{x^{2}-1}}\) nieoznaczoną wyliczyłem, tylko nie chce mi wyjść ,że ta całka jest rozbieżna.
2) \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{3}\frac{x}{x^{2}-1}}\) jw.
3) \(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{4}\frac{dx}{(2x-3)^{2}}}\) Nieoznaczoną wyliczyłem. Licząc \(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{\frac{3}{2}}\frac{dx}{(2x-3)^{2}}}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} [\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{2}]}\) i ile to się równa bo już zwątpiłem?

[luka52]

ad 1.
Wpierw musisz przedstawić tą całkę, jako sumę następujących dwóch całek:
\(\displaystyle{ \int \limits_{-2}^{-1} \frac{x \, dx}{x^2 - 1} + t \limits_{-1}^{0} \frac{x \, dx}{x^2 - 1}}\)
I teraz sprawdzić, czy całka jest zbieżna czy też nie.

ad 2.
Analogicznie jak w 1, tj.:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \frac{x \, dx}{x^2 - 1} + t\limits_{1}^{3} \frac{x \, dx}{x^2 - 1}}\)

ad 3.
I tutaj podobnie:
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{3/2} \frac{dx}{(2x-3)^2} + t\limits_{3/2}^{4} \frac{dx}{(2x-3)^2}}\)

[koala]

tak też zrobiłem;
w 1) pierwsza granica wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ln2}\) a druga \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ln10-\frac{1}{2}ln2}\)
w 2) pierwsza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ln\frac{2}{5}}\) a druga \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}ln2}\)
a mają wyjść rozbieżne więc gdzieś popełniam błąd.