Wyznaczyć ciąg geometryczny

[cinek182]

Mam dane:
\(\displaystyle{ a_5 - a_3 = 6,75}\) i \(\displaystyle{ a_4-a_2 = 4,5}\)

Mam znalezc pierwszy wyraz i iloraz ciagu. Prosze o pomoc.

Poprawiłem temat i zapis.
luka52

[luka52]

\(\displaystyle{ a_5 - a_3 = a_1 q^4 - a_1 q^2 = a_1 q^2 (q^2 - 1)\\
a_4 - a_2 = a_1 q^3 - a_1 q = a_1 q (q^2 - 1)\\
(q 1)\\
\frac{a_5 - a_3}{a_4 - a_2} = \frac{a_1 q^2 (q^2 - 1)}{a_1 q (q^2 - 1)} = q = \frac{6,75}{4,5} = 1,5\\
a_4 - a_2 = a_1 1,5 1,25 = 4,5 a_1 = 2.4}\)

[scyth]

Czyli:

\(\displaystyle{ \begin{cases} aq^5-aq^3=6,75\\aq^4-aq^2=4,5\end{cases}}\)

wyciągając wspólny czynnik przed nawias:

\(\displaystyle{ \begin{cases} aq^3(q^2-1)=6,75\\aq^2(q^2-1)=4,5\end{cases}}\)

zakładamy, że \(\displaystyle{ a 0}\) oraz \(\displaystyle{ aq^2 1}\). Stąd (dzieląc (1) przez (2)) \(\displaystyle{ q=1,5}\) i już łatwo obliczyć, że \(\displaystyle{ a=1,6}\)

[luka52]

i już łatwo obliczyć, że \(\displaystyle{ a=1,6}\)

Problem w tym, że nie jest to takie proste, gdyż a≠1,6

[scyth]

Problem w tym, że nie jest to takie proste, gdyż a≠1,6

Dlaczego?

Dla Ciebie a1=a, dla mnie a0=a i a1=a*q, stąd rozbieżność.

ps. Zresztą można policzyć, że dla a=1,6 i q=1,5 jest ok pod warunkiem, że a(n)=a*q^n), gdy a(n)=a*q^(n-1) to liczy się twoje rozwiązanie

ps2. 1,5*1,6=2,4

[luka52]

Dla Ciebie a1=a, dla mnie a0=a i a1=a*q, stąd rozbieżność.

Matematyka, to nie jest informatyka, gdzie ciągi można zacząć indeksować od 0.

[max]

To chyba drobna przesada... kwestia jest raczej umowna - podobnie jak przynależność zera do zbioru liczb naturalnych.

[Sylwek]

To chyba drobna przesada... kwestia jest raczej umowna - podobnie jak przynależność zera do zbioru liczb naturalnych.

Kwestia nie jest umowna, ponieważ w rozwiązaniu scyth wyraz a5 byłby 6-tym wyrazem ciągu, a przyjęte jest (taka jest umowa) i według tego rozwiązuje się wszystkie zadania dotyczące ciągów, że wyraz a1 jest pierwszym wyrazem ciągu (indeks numeryczny n przy wyrazie mówi, że ten wyraz jest n-tym w tym ciągu). Żeby nie było wątpliwości rozwiązanie luka52 jest poprawne

[max]

To chyba drobna przesada... kwestia jest raczej umowna - podobnie jak przynależność zera do zbioru liczb naturalnych.

Kwestia nie jest umowna, ponieważ w rozwiązaniu scyth wyraz a5 byłby 6-tym wyrazem ciągu, a przyjęte jest (taka jest umowa) i według tego rozwiązuje się wszystkie zadania dotyczące ciągów, że wyraz a1 jest pierwszym wyrazem ciągu (indeks numeryczny n przy wyrazie mówi, że ten wyraz jest n-tym w tym ciągu). Żeby nie było wątpliwości rozwiązanie luka52 jest poprawne

Dla jasności moja wypowiedź nie odnosiła się do samego zadania, a jedynie do wypowiedzi luki, jakoby ciągów nie można było indeksować od zera:

Matematyka, to nie jest informatyka, gdzie ciągi można zacząć indeksować od 0.

Pozdrawiam (:

[K4rol]

dane:
\(\displaystyle{ a_{1}=6\\
\frac{a_{10}}{a_{6}}=16}\)
Ciąg nie jest monotoniczny.

No i z tego wychodzi \(\displaystyle{ q=2 q=-2}\)
i pytanie, dlaczego odp jest q=-2?

[bullay]

Poniewaz ciąg nie jest monotoniczny. Przy \(\displaystyle{ q=2}\) bylby rosnacy.

[scyth]

\(\displaystyle{ \frac{a_{10}}{a_{6}}=\frac{a_{1}q^{9}}{a_{1}q^{5}}=q^{4}}\)
Z tego mamy, że \(\displaystyle{ q^2=8}\), czyli \(\displaystyle{ q}\) przyjmuje na przemian wartości \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ -4}\). Teraz trzeba znaleźć czy \(\displaystyle{ q=(-1)^n4}\) czy \(\displaystyle{ q=(-1)^{(n-1)}4}\), a ponieważ mamy dane \(\displaystyle{ a_1}\) to można wywnioskować, że ogólna postać ciągu to \(\displaystyle{ a_{n}=6(-1)^{(n-1)}4^{(n-1)}}\)

[bullay]

\(\displaystyle{ \frac{a_{10}}{a_{6}}=\frac{a_{1}q^{9}}{a_{1}q^{5}}=q^{4}}\)
Z tego mamy, że \(\displaystyle{ q^2=8}\), czyli \(\displaystyle{ q}\) przyjmuje na przemian wartości \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ -4}\). Teraz trzeba znaleźć czy \(\displaystyle{ q=(-1)^n4}\) czy \(\displaystyle{ q=(-1)^{(n-1)}4}\), a ponieważ mamy dane \(\displaystyle{ a_1}\) to można wywnioskować, że ogólna postać ciągu to \(\displaystyle{ a_{n}=6(-1)^{(n-1)}4^{(n-1)}}\)

Co ty piszesz? Sporo bledow i wcale nie wyjasniles czemu jest \(\displaystyle{ q=-2 \ a \ nie\ q=2}\)

[scyth]

ech... q nie jest ani 2 ani -2 - bo ciąg nie jest monotoniczny. no i gdzie te bledy? Podaj swoje rozwiązanie.

[bullay]

przeciez masz ze \(\displaystyle{ \frac{a_{10}}{a_{6}}=\frac{a_{1}q^{9}}{a_{1}q^{5}}=q^{4}=16}\) czyli \(\displaystyle{ q=2\vee q=-2}\), ale ciąg nie jest monotoniczny, wiec q nie moze byc rowne 2, bo wtedy ciag bylby monotoniczny. Czyli \(\displaystyle{ q=-2}\)