Wyznaczyć pierwiastki równania

[jeremi18]

\(\displaystyle{ 8z^{3}=(1-i \sqrt{3} )^{3}}\)

Poprawiłem zapis. luka52

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ z=\frac{(1-i \sqrt{3} )}{2}w}\)
tj
\(\displaystyle{ w^3=1}\)
etc

[Kasiula@]

Jest kilka metod rozwiazywania takich rownan,np. odgadnac jeden z pierwiastkow i pozostale znajdzie sie z odpowiedniego wzoru,czyli:
Mamy równanie:
\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{1}{8}(1-\sqrt{3})^{3}}\)
Łatwo odgadnac,ze jednym z pierwiastkow będzie:
\(\displaystyle{ z_{0}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})}\)
Pozostale pierwiastki znajdziemy,z wzoru:
\(\displaystyle{ z_{k}=z_{0}(\cos(\frac{2k\pi}{3})+i\sin(\frac{2k\pi}{3}))}\),gdzie k=1,2
Czyli:
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= -1}\)

Można tez "standardowo" (jest tu mala potega)
\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{1}{8}(1-\sqrt{3})^{3}=\frac{1}{8}*(-8)=-1}\)
i tu skorzystac ze wzoru:
\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[3]{|z|}(\cos(\frac{2k\pi+\varphi}{3})+i\sin(\frac{2k\pi+\varphi}{3}))}\),gdzie k=0,1,2
\(\displaystyle{ |z|=1,\varphi=\pi}\)

Pozdrawiam