granica z częścią całkowitą

[setch]

Znależć granicę lewstronną i granicę prawostronną funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{a} ft[\frac{b}{x}\right]}\) w punkcie zero.

[mol_ksiazkowy]

wsk \(\displaystyle{ x_n=\frac{b}{n} , n\in N \ \
f(x_n)=\frac{b}{a}}\)

[setch]

Mozna jakos jasniej i konkretniej i skad w ogole cos takiego sie bierze?

[przemk20]

mozna tak :
niech
\(\displaystyle{ x = \frac{1}{y}}\) wtedy
\(\displaystyle{ f(y) = \frac{[ by]}{ay} \\}\)
teraz zauwazmy ze dla :
\(\displaystyle{ (*) \ y < \frac{k}{b}, \ \frac{k+1}{b} ) \ \ f(y) = \frac{k}{ay}, \ \ k C \\}\)
zas z (*) wynika
\(\displaystyle{ \frac{b}{a} q f(y) = \frac{k}{ay} q \frac{b k}{a(k+1)} \\}\)
przechodząc do granicy
\(\displaystyle{ ( x \to 0^{+}) \ ( y \to + ) \ (k \to + ) \\
\frac{b}{a} q \lim_{y \to + } f(y) q \lim_{k \to + } \frac{bk}{a(k+1)} = \frac{b}{a} \\}\)
z tw. o trzech funkcjach
\(\displaystyle{ \lim_{y \to + } f(y) = \frac{b}{a} \\}\)