5 całek nieoznaczonych

[koala]

Jakby ktoś pomógłby mi w ich policzeniu byłbym bardzo wdzięczny.
1) \(\displaystyle{ \int x^{2}e^{x}sinxdx}\)
2) \(\displaystyle{ \int \frac{cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx}\)
3) \(\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}dx}\)
4) \(\displaystyle{ \int \frac{arcsinx}{x^{2}}dx}\)
5) \(\displaystyle{ \int \frac {x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}}dx}\)

[max]

1) Dwa razy przez części, różniczkujesz: \(\displaystyle{ x^{2}}\) i całkujesz: \(\displaystyle{ e^{x}\sin x\, dx}\) a potem różniczkujesz \(\displaystyle{ x}\) i całkujesz resztę
2) Podstawienie \(\displaystyle{ t = \sqrt{x}}\)
3) Przez części, różniczkujesz \(\displaystyle{ x}\), a całkujesz \(\displaystyle{ \frac{x dx}{(x^{2} + 1)^{2}}}\) (przez podstawienie \(\displaystyle{ t = x^{2} + 1}\))
4) Przez części: różniczkujesz \(\displaystyle{ \arcsin x}\), a całkujesz \(\displaystyle{ \frac{dx}{x^{2}}}\) potem podstawienie \(\displaystyle{ x = \sin t}\)
5) Podstawienie \(\displaystyle{ x = 3\sin t}\)

[koala]

1) Łącznie 4 razy przez części całkuję i różniczkuje i wychodzi mi ostatecznie: \(\displaystyle{ \frac{x^{2}e^{x}(sinx-cosx)}{2} + e^{x}cosx}\) ale to powinno wyjść inaczej ??:

2) i 3) policzone
4) i 5) nie bardzo wiem jak się z tymi podstawieniami robi...

[max]

(Dla uproszczenia - większość poniższych równości zachodzi z dokładnością do stałej (mam nadzieję, że będzie jasne, które z nich)).

1) Przyjmijmy:
\(\displaystyle{ I = t x^{2}e^{x}\sin x \,\mbox{d}x}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \int e^{x}\sin x \,\mbox{d}x = e^{x} \sin x - t e^{x}\cos x \,\mbox{d}x\\
t e^{x}\cos x \,\mbox{d}x = e^{x}\cos x + t e^{x}\sin x \,\mbox{d}x}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \int e^{x}\sin x \,\mbox{d}x = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2}\\
t e^{x}\cos x \,\mbox{d}x = \frac{e^{x}(\sin x + \cos x)}{2}\\
I = \frac{x^{2}e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} - t xe^{x}(\sin x - \cos x)\, =\\
= \frac{x^{2}e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + xe^{x}\cos x + t e^{x}\cos x\, =\\
= \frac{x^{2}e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + xe^{x}\cos x + \frac{e^{x}(\sin x + \cos x)}{2}}\)

4)
\(\displaystyle{ \int \frac{\arcsin x}{x^{2}} = -\frac{\arcsin x}{x} + t\frac{\mbox{d}x}{x\sqrt{1 - x^{2}}}}\)
Niech:
\(\displaystyle{ I = t \frac{\arcsin x}{x^{2}}\\
x = \sin t, \, t (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \cos t\, \mbox{d}t\\
\sqrt{1 - x^{2}} = \cos t\\
\int\frac{\mbox{d}x}{x\sqrt{1 - x^{2}}} = \int \frac{\mbox{d}t}{\sin t} = \int \frac{\mbox{d}t}{2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}} = \int \frac{\mbox{d}t}{2\tan \frac{t}{2}\cos^{2}\frac{t}{2}} =\\
= \ln |\tan \tfrac{t}{2}| = \ln \left|\frac{\sin t}{\cos t + 1}\right| = \ln \left|\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}} + 1}\right|\\
I = -\frac{\arcsin x}{x} + \ln \left|\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}} + 1}\right|}\)

5) Podobnie jak wyżej, ale prościej:
\(\displaystyle{ x = 3\sin t, \, t\in (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})\\
t = \arcsin \frac{x}{3}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{2} \, }{\sqrt{9 - x^{2}}} = 9\int \sin^{2}t\, \mbox{d}t= 9\int \frac{1 - \cos 2t}{2}\, \mbox{d}t =\\
= \frac{9t}{2} - \frac{9\sin 2t}{4} = \frac{9\arcsin \frac{x}{3}}{2} - \frac{9\cdot \frac{x}{3}\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}}{2} =\\
= \frac{9\arcsin \frac{x}{3}}{2} - \frac{x\sqrt{9 - x^{2}}}{2}}\)

[koala]

w przykładzie 4) nie bardzo rozumiem przejścia z całki na logarytm. Dlaczego jest \(\displaystyle{ ln|tan\frac{t}{2}|}\) oraz nie bardzo wiem dlaczego to jest równe \(\displaystyle{ ln|\frac{sint}{cost+1}|}\). A co do przykładu 5) to skąd \(\displaystyle{ t=arcsinx}\) oraz czemu \(\displaystyle{ \int \frac{x^{2} \, }{\sqrt{9 - x^{2}}} = 3\int \sin^{2}t}\)?

[max]

w przykładzie 4) nie bardzo rozumiem przejścia z całki na logarytm. Dlaczego jest \(\displaystyle{ ln|tan\frac{t}{2}|}\)

\(\displaystyle{ I = t \frac{\mbox{d}t}{2\tan \frac{t}{2}\cos^{2}\frac{t}{2}}}\)
podstawiając \(\displaystyle{ u = \tan \frac{t}{2}}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \mbox{d}u = \frac{\mbox{d}t}{2\cos^{2}\frac{t}{2}}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ I = t \frac{\mbox{d}u}{u} = \ln |u| + C = \ln|\tan \tfrac{t}{2}| + C}\)

nie bardzo wiem dlaczego to jest równe \(\displaystyle{ ln|\frac{sint}{cost+1}|}\).

\(\displaystyle{ \tan \tfrac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}}{2\cos^{2} \frac{t}{2}} =\\
= \frac{\sin t}{2\cos^{2} \frac{t}{2} - 1 + 1} = \frac{\sin t}{\cos t + 1}}\)

A co do przykładu 5) to skąd \(\displaystyle{ t=arcsinx}\)

Mój błąd, poprawiłem. Na wypadek ewentualnych dalszych niejasności wyjaśnienie:
Ponieważ:
\(\displaystyle{ x = 3\sin t, \ t\in (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})}\)
to:
\(\displaystyle{ \frac{x}{3} = \sin t\\
\arcsin \frac{x}{3} = \arcsin \sin t = t}\)

czemu \(\displaystyle{ \int \frac{x^{2} \, }{\sqrt{9 - x^{2}}} = 3\int \sin^{2}t}\)?

Po podstawieniu:
\(\displaystyle{ x = 3\sin t, \ t\in (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})}\)
jest:
\(\displaystyle{ x^{2} = 9\sin^{2}t\\
\sqrt{9 - x^{2}} = 3 \cos t\\
= 3\cos t \,\mbox{d}t}\)
i skracając otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{2} \, }{\sqrt{9 - x^{2}}} = 9\int \sin^{2}t\, \mbox{d}t}\)

[koala]

Teraz już wszystko rozumiem, tylko mi się jeszcze Twój wynik nie zgadza z wynikiem z książki oraz z programu: \(\displaystyle{ -\frac{x}{2}\sqrt{9-x^{2}}+\frac{9}{2}arcsin\frac{x}{3}}\)

[max]

No tak, zgubiłem trójkę przy różniczce. Kolejny głupi błąd (jak zawsze). Poprawione.