Wzór rekurencyjny na tangens n-tego stopnia

[sparrow_88]

Na pewno jest wam znany taki wzór:
\(\displaystyle{ \int tg^n(x)dx=\frac{1}{n-1}tg^n^-^1(x)-\int tg^{n-2}dx}\)
ja znam go od niedawna ale nie mogę poradzić sobie z wyprowadzeniem
z \(\displaystyle{ \int sin^n(x)dx}\) czy z odwrotnością sobie poradziłem a z tangenstem jest problem, wiem, że trzeba przez części a do tego wykorzystać podstawowe tożsamości trygonometryczne, no i tak właśnie próbuję ale coś musiałem pominąć, tylko co
Próbuję w ten sposób:
\(\displaystyle{ \int tg^n(x)dx=\int tg^{n-1}(x)tg(x)dx=m(x)n(x)-\int m'(x)n(x)dx}\)
\(\displaystyle{ m(x)=tg^{n-1}(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ m'(x)=(n-1)tg^{n-1}(x) \frac{1}{cos^2(x)}}\)
\(\displaystyle{ n'(x)=tg(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n(x)=-\ln(\cos(x))}\)
następny krok to: \(\displaystyle{ \frac{1}{cos^2(x)}=1+tg^2(x)}\)
nie potrafię znać wzór i korzystać z niego nie wiedząc skąd sie wziął pomóżcie

[mol_ksiazkowy]

o tym sie wzorze (*) przekonamy rozniczkujac prawa strone.
dalej rozpiszemy lewa strone aby uzyskac rozwiazanie...:
(*) \(\displaystyle{ \int \frac{tg^{n-2}(x)}{cos^2 x}dx= \frac{tg^{n-1} x}{n-1}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{tg^{n-2}(x)}{cos^2 x}dx= t tg^{n-2}(x)(1+tg^2 x)dx=\int tg^{n}(x)dx+\int tg^{n-2}(x)dx}\)

[sparrow_88]

trochę za szybko, rozumiem to co napisałaś ale skąd wziąłeś tą równość: \(\displaystyle{ \int \frac{tg^{n-2}(x)}{cos^2 x}dx= \frac{tg^{n-1} x}{n-1}}\)
czy zaczynając tej równości sugerujesz, że nie da się wyjść od \(\displaystyle{ \int tg^n(x)dx}\) i dojść do wzoru rekurencyjnego?

[mol_ksiazkowy]

sparrow88 napisal:

trochę za szybko, rozumiem to co napisałaś ale skąd wziąłeś tą równość: \(\displaystyle{ \int \frac{tg^{n-2}(x)}{cos^2 x}dx= \frac{tg^{n-1} x}{n-1}}\)

po prostu mozna policzyc ze pochodna funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{tg^{n-1} x}{n-1}}\) jest rowna \(\displaystyle{ \frac{tg^{n-2}(x)}{cos^2 x}}\), ..albo calke policzyc:

t=tgx
\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{cos^2 x}}\)
itd....

[sparrow_88]

no oki, wszystko się zgadza ale ja nie pytałem dlaczego lewa strona jest równa prawej tylko, że np. ja chcąc wyprowadzić ten wzór zaczynałem od początku a tym początkiem było: \(\displaystyle{ \int tg^n(x)dx}\), gdybym przewidział, że można zacząć od całkiem innej równości (*) to bym nawet o pomoc nie prosił ale wg mnie nie sposób było to przewidzieć, zatem pomęczę ciebie jeszcze jednym pytaniem: (gwarantuję, że ostatnim ) czy wiesz jak się do tego zabrać od MOJEGO początku? Nie wiedząc o (*) tak jak ja zanim się do tego zabrałem.

[luka52]

\(\displaystyle{ I_n = t \tan^n x \, dx}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ t = \tan x}\), wtedy:
\(\displaystyle{ I_n = t \frac{t^n \, dt}{1 + t^2} = t \frac{t^{n-2} + t^n - t^{n-2}}{1+t^2} dt = t \frac{t^{n-2} + t^n}{1+t^2} dt - I_{n-2} =\\ = t t^{n-2} \, dt - I_{n-2} = \frac{t^{n-1}}{n-1} - I_{n - 2} + C = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1} - I_{n-2} + C}\)

[sparrow_88]

dokładnie o to chodziło thx