granica z sinusami

[setch]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{\sin2x}{\sin 3x}}\)

[max]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{3x}{\sin 3x}\right) = \frac{2}{3}}\)

[setch]

Jeszcze jedna \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{arctgx}{x}}\)

[max]

Niech \(\displaystyle{ x = \tan ,\, (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})}\)
Wtedy \(\displaystyle{ x\to 0 \iff \tan \to 0 \iff \sin \to 0 \iff \to 0}\),
więc mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = \lim_{\alpha \to 0}\frac{\alpha}{\tan } = \lim_{\alpha\to 0}\left(\cos\alpha \frac{\alpha}{\sin }\right) = 1}\)

[setch]

Czy zamiana jednej granicy w drugą jest możliwa ponieważ \(\displaystyle{ \arctan (\tan ) = a\lhpa}\)?

[max]

Tak, przy podanym wyżej założeniu co do przedziału zmienności \(\displaystyle{ \alpha}\) jest:
\(\displaystyle{ \arctan \tan = }\)

[setch]

Z tym jak będzie \(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\arcsin (1-2x)}{4x^2-1}}\)

[max]

Ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1}\)
(rozumowanie analogiczne jak wyżej)
to:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \frac{1}{2}}\frac{\arcsin(1 - 2x)}{4x^{2} - 1} = \lim_{x\to \frac{1}{2}}\left(-\frac{\arcsin(1 - 2x)}{1 - 2x}\cdot \frac{1}{1 + 2x}\right) = -\frac{1}{2}}\)