Całka nieoznaczona

[koala]

Mam problem z wyliczeniem tej całki: \(\displaystyle{ \int xcos^{2}xdx}\). Liczyłem kilka razy przez części, ale nie mogę jej nigdy do końca wyliczyć...

[luka52]

Przedstaw swoje obliczenia - być może masz gdzieś błąd.

[koala]

Nie wiem czy jest sens, bo zawsze dochodzę do całki, która jest trudniejsza do policzenia niż pierwotna; obojętnie czy \(\displaystyle{ U(x)=x}\) i \(\displaystyle{ V'(x)=cos^{2}x}\) czy też odwrotnie

[luka52]

Może być. Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ du = dx, \quad v = t \cos^2 x \, dx}\)
Aby wyliczyć do końca v, zauważ, że \(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)}\). Dalej myślę, że sobie poradzisz, a w razie czego - pisz.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \int xcos^{2}xdx =\int x(\frac{1}{2}x +\frac{1}{4} sin(2x))^\prime dx = x(\frac{1}{2}x +\frac{1}{4} sin(2x)) - t \frac{1}{2}x +\frac{1}{4} sin(2x) dx}\).

[koala]

a skąd się to bierze?

\(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)}\)

Wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}cos2x+\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}xsin2x}\) a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{1}{8}cos2x+\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}xsin2x}\)

[ Dodano: 27 Lipca 2007, 13:38 ]
Znalazłem błąd. Teraz wynik się już zgadza

[luka52]

a skąd się to bierze?

\(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1}{2}(2 \cos^2 x) = \frac{1}{2}( \sin^2 x + \cos^2 x + \cos^2 x - \sin^2 x ) = \\ = \frac{1}{2}(1 + \cos^2 x - \sin^2 x) = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)}\)

[koala]

Heeh. Sprytne Dziękuje za pomoc.