przesunięcie i odbicie

[K4rol]

mhm co prawda zadanie jest z poziom. rozsz. ale po przeczytaniu stwierdziłem że nie jest takie złe, mianowicie \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x-3}{x^{2}-x-6}}\) przesunięto o \(\displaystyle{ \vec{u}=[-2,1]}\) a następnie odbito symetrycznie względem początku układu współ.
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x-3}{x^{2}-x-6}\\
f(x)=\frac{a}{x-p}+q\\
x^{2}-x-6=0\\
\sqrt{\Delta}=5\\
x_{1}=3 x_{2}=-2\\
(x-3)(x+2)\\
f(x)=\frac{x-3}{(x-3)(x+2)}}\)
i teraz pytanie - czy mogę to skrócić? w sensie x-3
czyli by to wyglądało
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x+2}\\
f(x)=\frac{1}{x+2+2}+1\\
f(x)=\frac{1}{x+4}+1}\)
czy to jest dobrze do tego momentu? osobiście wydaje mi się że nie sądząc po wyniku z odp.

[jasny]

Możesz skrócić, wtedy zostanie hiperbola, tylko x=3 musisz wykluczyć z dziedziny. Potem jak przesuniesz, z dziedziny nowej funkcji wykluczasz 3-2=1, a po odbiciu -1.

[Kris-0]

Prawie wszystko jest ok. Możesz tak skrócić. Niepotrzebnie Δ liczyłeś chyba, ze to Ci pomaga.
Masz funkcję postaci \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x+2}}\) Można to zapisać poprzez translację wektora (inaczej przesunięcia) o wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=[2,0]}\). Dodatkowo masz przesunąć wykres o wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[-2,1]}\). Teraz musisz zsumować te wektory. Otrzymasz wektor, który nazwę \(\displaystyle{ \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=[-2,1]+[2,0]=[0,1]}\). Wektor \(\displaystyle{ \vec{w}=[0,1]}\).

Otrzymujesz funkcję postaci: \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}+1}\). Dalej sobie poradzisz?

[Anathemed]

Masz funkcję postaci \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x+2}}\) Można to zapisać poprzez translację wektora (inaczej przesunięcia) o wektor \(\displaystyle{ \vec{v}=[2,0]}\).

Hm, a nie jest to przypadkiem translacja funkcji \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x}}\)o wektor \(\displaystyle{ vec{v}=[}\)-\(\displaystyle{ 2,0]}\)? (chociażby dlatego, że asymptota pionowa ma wzór \(\displaystyle{ x = -2}\)...

[Kris-0]

tak Anathemed, jest to translacja funkcji y=1/x o wektor v=[-2,0]. Znaczki mi się pomyliły

[K4rol]

czyli teraz pozostało odbicie względem ukł. czyli -f(-x)
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x+4}+1\\
f(x)=-[(\frac{1}{-x+4})+1]=\frac{-1}{x-4}-1}\)
ehm odp. jest
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{-x^{2}+4x+5}{x^{2}-3x-4}}\)
nie za bardzo wiem skąd to się wzięło.. :/

[soku11]

Musisz uwzglednic asymptote podana przez jasnego:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x+5}{x+4}\\
-f(-x)=-(\frac{-x+5}{-x+4})=\frac{-x+5}{x-4}=
\frac{(-x+5)(x+1)}{(x-4)(x+1)}=
\frac{-x^{2}+4x+5}{x^{2}-3x-4}}\)

POZDRO

[K4rol]

heh no fakt, też mi wyszło \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x+5}{x+4}}\) ale nie wiedziałem co z tym zrobić.
i w sumie rozumiem wszystko do momentu \(\displaystyle{ f(x)=\frac{-x+5}{x-4}}\) ale skąd te x+1 to nie mam pojęcia :>

[max]

To mnożenie licznika i mianownika przez \(\displaystyle{ x + 1}\) możesz sobie darować, ale - jak napisał jasny - musisz wykluczyć \(\displaystyle{ x = -1}\) z dziedziny. Cały 'myk' w tym, że:
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{x+1} = 1,}\) dla \(\displaystyle{ x\neq -1}\), i po tym wymnożeniu dziedzina funkcji jest już poniekąd zapisana we wzorze.
Btw. jakoś nie bardzo to zadanie pasuje do funkcji kwadratowych.

[jasny]

Gdyż -1 jest asymptotą przekształconej funkcji (wzięła się od tego, że 3 było asymptotą funkcji przekształcanej). Mamy więc \(\displaystyle{ f(x)=\frac{-x+5}{x-4}}\), i to jest odpowiedź, pod warunkiem że dopiszemy \(\displaystyle{ D_{f'}=R\setminus\{-1;4\}}\). Wykluczenie 4 z dziedziny przy postaci \(\displaystyle{ f(x)=\frac{-x+5}{x-4}}\) jest oczywiste, aby oczywiste było też wykluczenie -1, przemnażamy licznik i mianownik przez (x+1).