całka przez częsci?

[mała193]

\(\displaystyle{ \int e^{-2x} sin5x dx}\)
Proszę was serdecznie niech mi ktoś pokaże jak krok po kroku roziazać tą całkę Pozdrawiam

[jasny]

\(\displaystyle{ I=\int e^{-2x}\sin(5x)dx}\)
\(\displaystyle{ u_1=e^{-2x},\;dv_1=\sin(5x)dx}\)
\(\displaystyle{ du_1=-2e^{-2x}dx,\;v_1=-\frac{1}{5}\cos(5x)}\)

\(\displaystyle{ I=e^{-2x}\cdot(-\frac{1}{5}\cos(5x))-\int(-2e^{-2x})(-\frac{1}{5}\cos(5x))dx= -\frac{1}{5}e^{-2x}\cos(5x)-\frac{2}{5}\int e^{-2x}\cos(5x)dx}\)

\(\displaystyle{ u_2=e^{-2x},\;dv_2=\cos(5x)dx}\)
\(\displaystyle{ du_2=-2e^{-2x}dx,\;v_2=\frac{1}{5}\sin(5x)}\)

\(\displaystyle{ I=-\frac{1}{5}e^{-2x}\cos(5x)-\frac{2}{5}(e^{-2x}\cdot\frac{1}{5}\sin(5x)-\int(-2e^{-2x})(\frac{1}{5}\sin(5x))dx)}\) \(\displaystyle{ I=-\frac{1}{5}e^{-2x}\cos(5x)-\frac{2}{25}e^{-2x}\sin(5x)-\frac{4}{25}\int e^{-2x}\sin(5x)dx}\)
\(\displaystyle{ I=-\frac{1}{25}e^{-2x}(2\sin(5x)+5\cos(5x))-\frac{4}{25}I}\)
\(\displaystyle{ \frac{29}{25}I=-\frac{1}{25}e^{-2x}(2\sin(5x)+5\cos(5x))}\)
\(\displaystyle{ I=-\frac{1}{29}e^{-2x}(2\sin(5x)+5\cos(5x))+C}\)

[mała193]

Serdeczne dzieki za tak rewelacyjny zapis super że są tacy ludzie jak Ty dziękuję bardzo i pozdrawiam