Wartość bezwzględna

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Wartość bezwzględna

Post autor: koala »

Jak policzyć pochodną funkcji której postać jest następująca: \(\displaystyle{ |f(x)|}\)? Dlaczego można policzyć pochodną z funkcji \(\displaystyle{ f(x)=|x^{4}+2x{3}-3x^{2}|}\) a nie można obliczyć z \(\displaystyle{ f(x)=|log_{2}x|}\)? Ja się uczyłem, że jak funkcja posiada "ostrze" to nie istnieje pochodna, ale już sam nie wiem jak to do końca jest...
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: JHN »

koala pisze:Ja się uczyłem, że jak funkcja posiada "ostrze" to nie istnieje pochodna, ale już sam nie wiem jak to do końca jest...
Oczywiście - racja. Jeżeli wykres funkcji jest "złamany" lub "pionowy", to w tym punkcie funkcja nie posiada pochodnej!

Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=|\log_{2}x|}\),
to \(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} -\log_{2}x & \Leftarrow & x\in(0,1)\\
\log_{2}x & \Leftarrow& x\ge 1 \end{array}}\)

oraz \(\displaystyle{ f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl} \frac{-1}{x\cdot \ln{2}}& \Leftarrow & x\in(0,1)\\\\
\frac{1}{x\cdot \ln{2}} & \Leftarrow& x> 1 \end{array}}\)


Czyli dla \(\displaystyle{ x=1}\) pochodna tej funkcji nie istnieje. Ale dla pozostałych argumentów istnieje!

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 208 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: setch »

Aby sprawdzić czy funckcja w której występuje wartość bezwzględna jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to trzeba policzyć wartość pochodnej lewostronnej i prawostronnej w punkcie, w którym wartość bezwzględna zeruje się. Najlepeij robić to z definicji

\(\displaystyle{ f(x)=|x^2+2x-3| \\
\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{(1+h)^2+2(1+h)-3-0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2+4h}{h} = \lim_{h \to 0^+} h+4=4}\)


\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-(1+h)^2-2(1+h)+3-0}{h}= \lim_{h\to 0^-} \frac{-h^2-4h}{h} = \lim_{h\to 0^-} -h-4
=-4}\)

Z tego wynika ze pochdne lewstronne i prawostronne w pukcie są różne zatem pochodna \(\displaystyle{ f'(1)}\) nie istnieje a z tego wynika, że funkcja f nie jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Podobnie można sprawdzić czy istnieje \(\displaystyle{ f'(-3)}\)
Ostatnio zmieniony 27 lip 2007, o 10:51 przez setch, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: JHN »

setch pisze:... Najlepiej robić to z definicji
A gdyby tak:
\(\displaystyle{ f(x)=|x^2+2x-3| =\left\{\begin{array}{lcl}-x^2-2x+3&\Leftarrow&x\in(-3,1)\\
x^2+2x-3&\Leftarrow&x\in\left[(-\infty,-3>\cup}\)
Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 208 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: setch »

JHN, Ty liczyłeś \(\displaystyle{ f'(3)}\) a ja \(\displaystyle{ f'(1)}\). Poza tym według twojego wzoru na pochodną, argumenty 1 i -3 nie należa do dziedziny a nie ma powodu, aby ich wykluczać.
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: JHN »

@setch Wnioskując z moich rachunków \(\displaystyle{ f'(1^+)=4}\). A u Ciebie prawostronna granica ilorazu różniczkowego w \(\displaystyle{ x=1}\) jest równa \(\displaystyle{ -4}\). To stoi w sprzeczności!
setch pisze:Poza tym według twojego wzoru na pochodną, argumenty 1 i -3 nie należa do dziedziny a nie ma powodu, aby ich wykluczać.
Ja tego nie twierdzę. Liczę pochodną (wygodnymi technikami) tam, gdzie ona na pewno istnieje; potem sprawdzam (rachunkiem granicznym), czy istnieje ona w pozostałych argumentach

Na przykład dla
\(\displaystyle{ y=f(x)=x\cdot |x|}\) określonej na dziedzinie rzeczywistej mamy

\(\displaystyle{ y'=f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}-2x&\Leftarrow x0\end{array}}\)

Ponieważ jednak
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-}f'(x)= \lim_{x\to 0^+}f'(x)=0}\)

to \(\displaystyle{ f'(0)=0}\)
i ostatecznie

\(\displaystyle{ f'(x)=2|x|}\) dla wszystkich argumentów rzeczywistych

Pozdrawiam

[edit] @setch teraz jest OK.
Ostatnio zmieniony 27 lip 2007, o 17:17 przez JHN, łącznie zmieniany 1 raz.
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: soku11 »

\(\displaystyle{ x\cdot x=x^{2}}\) Tak w woli scislosci
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: JHN »

soku11 pisze:\(\displaystyle{ x\cdot x=x^{2}}\) Tak w woli scislosci
Nie do końca zrozumiałem.
Tak gwoli ścisłości, to w moim poście powyżej (co uznałem za oczywiste)
\(\displaystyle{ y=f(x)=x\cdot |x|=\left\{\begin{array}{ll}-x^2&\Leftarrow\quad x}\)
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: soku11 »

Ehh sory zle spojrzalem :) Nie zauwazylem ze to f' napisales a nie f :/
koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Wartość bezwzględna

Post autor: koala »

A jak wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{ln|x|}{\sqrt{|x|}}}\) ? Coś mi ten przykład nie wychodzi
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: soku11 »

Funkcja ma wiec postac:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{ln(-x)}{\sqrt{(-x)}}\ dla\ x\in(-\infty;0)\\ \frac{lnx}{\sqrt{x}}\ dla\ x\in(0;+\infty) \end{cases}\\}\)

Pierwsza pochodna funkcji wyglada wiec tak:
\(\displaystyle{ f'(x)=\begin{cases} \frac{2+ln(-x)}{2x\sqrt{x}}\ dla\ x\in(-\infty;0)\\ \frac{2-lnx}{2x\sqrt{x}}\ dla\ x\in(0;+\infty)\end{cases}}\)

A druga:
\(\displaystyle{ f''(x)=\begin{cases} \frac{\sqrt{x}(-8-3ln(-x))}{4x^{3}}\ dla\ x\in(-\infty;0)\\
\frac{\sqrt{x}(-8+3lnx)}{4x^{3}}\ dla\ x\in(0;+\infty)\end{cases}}\)


Powinno byc OK. Dalej powinienes sobie poradzic POZDRO
koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Wartość bezwzględna

Post autor: koala »

Mam jeszcze problem z policzeniem punktu przegięcia dla \(\displaystyle{ x (-\infty;0)}\). W tym miejscu coś mi się nie zgadza:
\(\displaystyle{ ln(-x)=-\frac{8}{3}}\) i z tego mi wychodzi \(\displaystyle{ x=e^\frac{8}{3}}\) a powinno \(\displaystyle{ x=-e^\frac{8}{3}}\)
soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1823 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: soku11 »

To cos chyba zle jest policzone, bo:
\(\displaystyle{ ln(-x)=-\frac{8}{3}\\
ln(-x)=lne^{-\frac{8}{3}}\\
x=-e^{-\frac{8}{3}}}\)


Czyli gdzies ze znakiem jest nie tak... Musisz poszukac. POZDRO
K4rol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 301
Rejestracja: 18 cze 2007, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 7 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: K4rol »

Podaj wszystkie elementy zbioru A
\(\displaystyle{ A=\{x: |x-4|=-2 x R\}\\
|x-4|=-2\\
|x-4|=\begin{cases}x-4\geqslant 0 \ \ x\geqslant 4\\x-4 -x+4=-2\\
x=2 x=6}\)

zbiór \(\displaystyle{ \phi}\)
gut?
koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Wartość bezwzględna

Post autor: koala »

Na pewno ma wyjść \(\displaystyle{ x=-e^{-\frac{8}{3}}}\) ?
ODPOWIEDZ