Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
-
- Użytkownik
- Posty: 860
- Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 86 razy
- Pomógł: 57 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
Przeglądałam ostatnio zadnia z matur. To jest zadanie z matury rozszerzonej z roku 2005.
Oto jego treść:
Wykazać, bez użycia kalkulatora i tablic, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\) jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie:
Zauważyłam, że:
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}+1)^{3}=2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1=5\sqrt{2}+7}\)
oraz \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{3}=2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\sqrt[3]{2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1}-\sqrt[3]{2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=\\\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^{3}}-\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^{3}}=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2}\)
Odpowiedź:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2}\)
W sumie zadanie jest proste, ale musiałam się nagimnastykować, by dojść do tego co zauważyłam, robiłam to metodą prób i błędów, tzn wyszłam \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\) i skorzystałam ze wzorów skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (a+b)^{3}}\), założyłam że \(\displaystyle{ a=\sqrt{2}}\). Potem to samo zrobiłam tylko z minusem.
Jak to zrobić łatwiej i szybciej? Jaka jest metoda (to co zauważyłam)? Jak inaczej rozwiązać takie zadanie?
Temat poprawiłam.
Radzę zapoznać się z regulaminem.
ariadna
Oto jego treść:
Wykazać, bez użycia kalkulatora i tablic, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\) jest liczbą całkowitą.
Rozwiązanie:
Zauważyłam, że:
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}+1)^{3}=2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1=5\sqrt{2}+7}\)
oraz \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{3}=2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\sqrt[3]{2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1}-\sqrt[3]{2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=\\\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^{3}}-\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^{3}}=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2}\)
Odpowiedź:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2}\)
W sumie zadanie jest proste, ale musiałam się nagimnastykować, by dojść do tego co zauważyłam, robiłam to metodą prób i błędów, tzn wyszłam \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\) i skorzystałam ze wzorów skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (a+b)^{3}}\), założyłam że \(\displaystyle{ a=\sqrt{2}}\). Potem to samo zrobiłam tylko z minusem.
Jak to zrobić łatwiej i szybciej? Jaka jest metoda (to co zauważyłam)? Jak inaczej rozwiązać takie zadanie?
Temat poprawiłam.
Radzę zapoznać się z regulaminem.
ariadna
Ostatnio zmieniony 24 lip 2007, o 21:16 przez Hania_87, łącznie zmieniany 1 raz.
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
Moim zdaniem zaprezentowana przez Ciebie jest prostsza, ale jeśli chcesz,toHania_87 pisze: Jak to zrobić łatwiej i szybciej? Jaka jest metoda (to co zauważyłam)? Jak inaczej rozwiązać takie zadanie?
Niech \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=x}\) i \(\displaystyle{ x>0}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right)^3=x^3\\}\)
(korzystając z wersji wzoru uproszczonego mnożenia \(\displaystyle{ (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)}\))
\(\displaystyle{ 5\sqrt{2}+7-5\sqrt{2}+7-3\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\cdot\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\cdot x=x^3\\
14-3\sqrt[3]{50-49}\cdot x=x^3}\)
co porządkuje się do postaci
\(\displaystyle{ x^3+3x-14=0\\
x^3-2x^2+2x^2-4x+7x-14=0\\
x^2(x-2)+2x(x-2)+7(x-2)=0\\
(x-2)(x^2+2x+7)=0\\
x=2\quad\vee\quad x\in\emptyset\qquad \textrm{bo}\quad\Delta=4-28}\)
Ostatnio zmieniony 24 lip 2007, o 22:10 przez JHN, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 860
- Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 86 razy
- Pomógł: 57 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
takie rozwiązanie było w kluczu odpowiedzi, a \(\displaystyle{ x^3=14-3x}\) wyznaczyłeś graficznie? A jakiś inny sposób?
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
Nie do końca zrozumiałem.Hania_87 pisze:... a \(\displaystyle{ x^3=14-3x}\) wyznaczyłeś graficznie?...
Równanie wielomianowe stopnia trzeciego można rozwiązać:
-) grupowaniem wyrazów (i tak to zrobiłem)
-) przez tw. o pierwiastku wymiernym (można znaleźć \(\displaystyle{ x=2}\) i na mocy tw. Bezoute'a podzielić przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) a później poszukiwać pierwiastków wielomianu zredukowanego (w tym przypadku drugiego stopnia - czyli przez wyróżnik (\(\displaystyle{ \Delta}\)))
-) graficznie (nie wiem dlaczego, ale nie polecam)
Na ten problem - nie znam innych; na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...Hania_87 pisze:... A jakiś inny sposób?
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 860
- Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 86 razy
- Pomógł: 57 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
trochę mnie zaćmiło
a jak to zrobić tym sposobem?
JHN pisze: Na ten problem - nie znam innych; na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...
a jak to zrobić tym sposobem?
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
Przeczytaj jeszcze raz mój post - istotnie go zmieniłem. Jeśli będziesz miała jeszcze pytania, to sprecyzuj je , proszę, w oparciu o cytaty z niego.
Pozdrawiam
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 860
- Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 86 razy
- Pomógł: 57 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
Teraz to widzę, dziękuję za pomoc.
Może ma ktoś inny pomysł, jak rozwiązać te zadanie w inny sposób...
to mnie jeszcze zastanawia, jak to zrobićJHN pisze:na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...
Może ma ktoś inny pomysł, jak rozwiązać te zadanie w inny sposób...
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
Google nie gryzą!Hania_87 pisze:to mnie jeszcze zastanawia, jak to zrobićJHN pisze:na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
Ja sam osobiście staram się stworzyć choćby system, który by choć czasem pozwalał upraszczać takie liczby, ale póki co dość nie mam wiele czasu na próby ; )
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
oj owszem , w tego typu zadankach, tzreba miec przed oczami wzor cardano, a wszystko idzie "po masle", tu akurat bedzie
\(\displaystyle{ -\frac{q}{2}=7}\), tj q=-14, zas
\(\displaystyle{ \frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}=50}\)
tj p=3
\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}}\)
i
\(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\)
\(\displaystyle{ -\frac{q}{2}=7}\), tj q=-14, zas
\(\displaystyle{ \frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}=50}\)
tj p=3
\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}}\)
i
\(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\)
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej
i powrócimy do wartości podanej treścią zadania.mol_ksiazkowy pisze:...oj owszem , w tego typu zadankach, trzeba mieć przed oczami wzór Cardano, a wszystko idzie "po maśle", ...
Pozdrawiam