Pomorski konkurs matematyczny

[Tris]

Wykaż, że jeżeli w liczbie trzycyfrowej środkowa cyfra jest równa sumie skrajnych cyfr, to liczba jest podzielna przez 11.

[JHN]

Niech
\(\displaystyle{ x,(x+y),y}\) będą cyframi (dobrze określonymi) danej liczny \(\displaystyle{ n}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ n=100x+10(x+y)+y=110x+11y=11(10x+y}\)
A ponieważ w nawiasie mamy liczbę całkowitą, to dana liczba jest wielokrotnością liczby 11 i teza zadania jest prawdziwa

Pozdrawiam

[Anathemed]

Jak naszą liczbę oznaczymy sobie: \(\displaystyle{ L = \overline{abc}}\) (a,b,c to cyfry),
I skorzystamy z założenia, że \(\displaystyle{ b = a + c}\), to dostaniemy:

\(\displaystyle{ L = \overline{abc} = 100a + 10b + c = 100a + 10(a+c) + c = 110a + 11c = 11(10a + c)}\) czyli 11 dzieli L, c.b.d.o.

[Tris]

Dziękuję i pozdrawiam

[max]

Ogólniej, ponieważ \(\displaystyle{ 10 \equiv -1 od{11}}\), to liczba:
\(\displaystyle{ L = \overline{k_{n}k_{n - 1}\ldots k_{1} k_{0}} = k _{0}\cdot 10^{0} + k_{1}\cdot 10^{1} + \ldots + k_{n-1}\cdot 10^{n-1} + k_{n}\cdot 10^{n}}\)
jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynników przy potęgach dziesiątki o wykładnikach parzystych jest przystaje modulo 11 sumie współczynników stojących przy potęgach o wykładnikach nieparzystych.

edit. racja

[JHN]

Ogólniej, [...] liczba[...]jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynników przy potęgach dziesiątki o wykładnikach parzystych jest równa sumie współczynników stojących przy potęgach o wykładnikach nieparzystych.

Raczej przystaje modulo 11

Pozdrawiam