Układ równań
-
- Użytkownik
- Posty: 374
- Rejestracja: 21 cze 2007, o 11:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łostowice
- Pomógł: 146 razy
Układ równań
Licząc wprost dochodzimy chyba do równania 4 stopnia.
Jedno rozwiązanie to x = 2 y = 1.
Można teraz dzielić przez ten pierwiastek otrzymując równanie 3 stopnia.
Jedno rozwiązanie to x = 2 y = 1.
Można teraz dzielić przez ten pierwiastek otrzymując równanie 3 stopnia.
- Anathemed
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 34 razy
Układ równań
Po pierwsze zauważmy, że x,y > 0
Obliczmy z pierwszego równania wartość x:
Pierwsze równanie można przedstawić jako równanie kwadratowe zmiennej x z parametrem y w takiej postaci:
\(\displaystyle{ yx^2 + 2y^2x + y^3 - 9 = 0}\)
Stąd dostajemy: \(\displaystyle{ x = -y \pm 3y^{-\frac{1}{2}}}\)
Jednak ponieważ x,y > 0, więc możliwe jest tylko jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x = -y + 3y^{-\frac{1}{2}}}\)
Dalej, wstawmy nasz rezultat do drugiego równania. Otrzymamy równanie jednej zmiennej:
\(\displaystyle{ y((3y^{-\frac{1}{2}}-y)^3 - y^3) = 7}\)
Po przemnożeniu "wszystkiego przez wszystko", otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ 27y^{-\frac{1}{2}} - 27y + 9y{\frac{5}{2}} - 2y^4 - 7 = 0}\)
Nasze zadanie można więc sprowadzić do znalezienia miejsca zerowego funkcji:
\(\displaystyle{ f(y) = 27y^{-\frac{1}{2}} - 27y + 9y{\frac{5}{2}} - 2y^4 - 7}\)
Jednak po obliczeniu pochodnej funkcji f(x), okazuje się, iż pochodna ta jest ujemna na przedziele \(\displaystyle{ (0, )}\), czyli funkcja jest na tym przedziale malejąca co oznacza iż ma na tym przedziale co najwyżej jedno miejsce zerowe, gdyż funkcja powyższa jest na tym przedziale ciągła.
Ale, jak już przedmówca zauważył, miejscem zerowym naszej funkcji jest liczba \(\displaystyle{ y = 1}\). I jest to jedyne miejsce zerowe, co oznacza, że jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 2, y = 1
Koniec
Obliczmy z pierwszego równania wartość x:
Pierwsze równanie można przedstawić jako równanie kwadratowe zmiennej x z parametrem y w takiej postaci:
\(\displaystyle{ yx^2 + 2y^2x + y^3 - 9 = 0}\)
Stąd dostajemy: \(\displaystyle{ x = -y \pm 3y^{-\frac{1}{2}}}\)
Jednak ponieważ x,y > 0, więc możliwe jest tylko jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x = -y + 3y^{-\frac{1}{2}}}\)
Dalej, wstawmy nasz rezultat do drugiego równania. Otrzymamy równanie jednej zmiennej:
\(\displaystyle{ y((3y^{-\frac{1}{2}}-y)^3 - y^3) = 7}\)
Po przemnożeniu "wszystkiego przez wszystko", otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ 27y^{-\frac{1}{2}} - 27y + 9y{\frac{5}{2}} - 2y^4 - 7 = 0}\)
Nasze zadanie można więc sprowadzić do znalezienia miejsca zerowego funkcji:
\(\displaystyle{ f(y) = 27y^{-\frac{1}{2}} - 27y + 9y{\frac{5}{2}} - 2y^4 - 7}\)
Jednak po obliczeniu pochodnej funkcji f(x), okazuje się, iż pochodna ta jest ujemna na przedziele \(\displaystyle{ (0, )}\), czyli funkcja jest na tym przedziale malejąca co oznacza iż ma na tym przedziale co najwyżej jedno miejsce zerowe, gdyż funkcja powyższa jest na tym przedziale ciągła.
Ale, jak już przedmówca zauważył, miejscem zerowym naszej funkcji jest liczba \(\displaystyle{ y = 1}\). I jest to jedyne miejsce zerowe, co oznacza, że jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 2, y = 1
Koniec