Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

[Hania_87]

Przeglądałam ostatnio zadnia z matur. To jest zadanie z matury rozszerzonej z roku 2005.

Oto jego treść:
Wykazać, bez użycia kalkulatora i tablic, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\) jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie:
Zauważyłam, że:
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}+1)^{3}=2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1=5\sqrt{2}+7}\)
oraz \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{3}=2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\sqrt[3]{2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1}-\sqrt[3]{2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=\\\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^{3}}-\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^{3}}=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2}\)
Odpowiedź:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2}\)



W sumie zadanie jest proste, ale musiałam się nagimnastykować, by dojść do tego co zauważyłam, robiłam to metodą prób i błędów, tzn wyszłam \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\) i skorzystałam ze wzorów skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (a+b)^{3}}\), założyłam że \(\displaystyle{ a=\sqrt{2}}\). Potem to samo zrobiłam tylko z minusem.
Jak to zrobić łatwiej i szybciej? Jaka jest metoda (to co zauważyłam)? Jak inaczej rozwiązać takie zadanie?


Temat poprawiłam.
Radzę zapoznać się z regulaminem.
ariadna

[Kris-0]

Myślę, że nie ma. W szkole na lekcji robiliśmy ta samą metodą z tą różnica, że były to zadania z wartością bezwzględną.

[JHN]

Jak to zrobić łatwiej i szybciej? Jaka jest metoda (to co zauważyłam)? Jak inaczej rozwiązać takie zadanie?

Moim zdaniem zaprezentowana przez Ciebie jest prostsza, ale jeśli chcesz,to

Niech \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=x}\) i \(\displaystyle{ x>0}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right)^3=x^3\\}\)
(korzystając z wersji wzoru uproszczonego mnożenia \(\displaystyle{ (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)}\))

\(\displaystyle{ 5\sqrt{2}+7-5\sqrt{2}+7-3\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\cdot\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\cdot x=x^3\\
14-3\sqrt[3]{50-49}\cdot x=x^3}\)
co porządkuje się do postaci
\(\displaystyle{ x^3+3x-14=0\\
x^3-2x^2+2x^2-4x+7x-14=0\\
x^2(x-2)+2x(x-2)+7(x-2)=0\\
(x-2)(x^2+2x+7)=0\\
x=2\quad\vee\quad x\in\emptyset\qquad \textrm{bo}\quad\Delta=4-28}\)

[Hania_87]

takie rozwiązanie było w kluczu odpowiedzi, a \(\displaystyle{ x^3=14-3x}\) wyznaczyłeś graficznie? A jakiś inny sposób?

[JHN]

... a \(\displaystyle{ x^3=14-3x}\) wyznaczyłeś graficznie?...

Nie do końca zrozumiałem.
Równanie wielomianowe stopnia trzeciego można rozwiązać:
-) grupowaniem wyrazów (i tak to zrobiłem)
-) przez tw. o pierwiastku wymiernym (można znaleźć \(\displaystyle{ x=2}\) i na mocy tw. Bezoute'a podzielić przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) a później poszukiwać pierwiastków wielomianu zredukowanego (w tym przypadku drugiego stopnia - czyli przez wyróżnik (\(\displaystyle{ \Delta}\)))
-) graficznie (nie wiem dlaczego, ale nie polecam)

... A jakiś inny sposób?

Na ten problem - nie znam innych; na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...

Pozdrawiam

[Hania_87]

trochę mnie zaćmiło

Na ten problem - nie znam innych; na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...

a jak to zrobić tym sposobem?

[ariadna]

Hania_87, google!

[Hania_87]

rozumie pojęcia, ale tak mnie zaćmiło, że nie widzę jak to rozwiązać

[JHN]

Przeczytaj jeszcze raz mój post - istotnie go zmieniłem. Jeśli będziesz miała jeszcze pytania, to sprecyzuj je , proszę, w oparciu o cytaty z niego.

Pozdrawiam

[Hania_87]

Teraz to widzę, dziękuję za pomoc.

na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...

to mnie jeszcze zastanawia, jak to zrobić



Może ma ktoś inny pomysł, jak rozwiązać te zadanie w inny sposób...

[JHN]

na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...

to mnie jeszcze zastanawia, jak to zrobić

Google nie gryzą!
Pozdrawiam

[Rogal]

Ja sam osobiście staram się stworzyć choćby system, który by choć czasem pozwalał upraszczać takie liczby, ale póki co dość nie mam wiele czasu na próby ; )

[mol_ksiazkowy]

oj owszem , w tego typu zadankach, tzreba miec przed oczami wzor cardano, a wszystko idzie "po masle", tu akurat bedzie
\(\displaystyle{ -\frac{q}{2}=7}\), tj q=-14, zas

\(\displaystyle{ \frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}=50}\)



tj p=3
\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}}\)
i
\(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\)

[JHN]

...oj owszem , w tego typu zadankach, trzeba mieć przed oczami wzór Cardano, a wszystko idzie "po maśle", ...

i powrócimy do wartości podanej treścią zadania.

Pozdrawiam