Wykazać nierówność dla trzech zmiennych, wiedząc, że.
-
- Użytkownik
- Posty: 278
- Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Wykazać nierówność dla trzech zmiennych, wiedząc, że.
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to \(\displaystyle{ xy+yz+zx\leqslant0}\).
Ostatnio zmieniony 31 lip 2007, o 17:18 przez dawido000, łącznie zmieniany 1 raz.
- Anathemed
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 34 razy
Wykazać nierówność dla trzech zmiennych, wiedząc, że.
Ponieważ \(\displaystyle{ 0 = x + y + z}\), więc \(\displaystyle{ 0*0 = 0 = (x+y+z)^2}\)
Podstawiając za zero w naszej nierówności powyższe wyrażenie, otrzymujemy do udowodnienia taką nierówność: \(\displaystyle{ xy+yz+zx\leqslant (x+y+z)^2}\)
Teraz wymnóżmy wyrażenie \(\displaystyle{ (x+y+z)^2}\). Mamy:
\(\displaystyle{ (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}\)
Nasza nierwówność wygląda więc tak:
\(\displaystyle{ xy+yz+zx\leqslant x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}\)
Po zredukowaniu wyrazów podobnych otrzymujemy nierówność:
\(\displaystyle{ 0\leqslant x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx}\)
Po przemnożeniu przez 2:
\(\displaystyle{ 0\leqslant 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy +2yz + 2zx}\)
Pogrupujmy teraz prawą stronę w ten sposób:
\(\displaystyle{ 0\leqslant (x^ 2+ 2xy + y^2) + (y^ 2+ 2yz + z^2) + (z^ 2+ 2zx + x^2)}\)
Czyli korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ 0\leqslant (x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}\)
A to jest prawdą. A ponieważ powyższa nierówność jest po prostu przekształconą wyjściową nierównością, więc wyjściowa nierówność jest również prawdziwa, c.b.d.o.
Mam nadzieję, że tym razem wszystko w miarę prosto i czytelnie wyjaśniłem
Podstawiając za zero w naszej nierówności powyższe wyrażenie, otrzymujemy do udowodnienia taką nierówność: \(\displaystyle{ xy+yz+zx\leqslant (x+y+z)^2}\)
Teraz wymnóżmy wyrażenie \(\displaystyle{ (x+y+z)^2}\). Mamy:
\(\displaystyle{ (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}\)
Nasza nierwówność wygląda więc tak:
\(\displaystyle{ xy+yz+zx\leqslant x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}\)
Po zredukowaniu wyrazów podobnych otrzymujemy nierówność:
\(\displaystyle{ 0\leqslant x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx}\)
Po przemnożeniu przez 2:
\(\displaystyle{ 0\leqslant 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy +2yz + 2zx}\)
Pogrupujmy teraz prawą stronę w ten sposób:
\(\displaystyle{ 0\leqslant (x^ 2+ 2xy + y^2) + (y^ 2+ 2yz + z^2) + (z^ 2+ 2zx + x^2)}\)
Czyli korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ 0\leqslant (x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}\)
A to jest prawdą. A ponieważ powyższa nierówność jest po prostu przekształconą wyjściową nierównością, więc wyjściowa nierówność jest również prawdziwa, c.b.d.o.
Mam nadzieję, że tym razem wszystko w miarę prosto i czytelnie wyjaśniłem
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Wykazać nierówność dla trzech zmiennych, wiedząc, że.
\(\displaystyle{ xy+yz+zx= \frac{(x+y+z)^2 -(x^2+y^2+z^2)}{2} = -\frac{ x^2+y^2+z^2}{2} q 0}\)