księżniczka i książe

[f16]

Nie wiem czy spotkaliście się z taką zagadką:

Księżniczka ma tyle lat ile będzie miał książę kiedy ona będzie miała 2 razy więcej lat niż on, w chwili, gdy jej wiek był połową sumy ich aktualnego wieku

[arecek]

Księzniczka Książe

Dawniej 7(14) 5(10)

Teraz 8(16) 6(12)

Potem 10(20) 8(16)

[Sylwek]

Ja to widzę tak:

x - więk księżniczki
y - wiek księcia
y+a - wiek księcia, kiedy księżniczka będzie miała 2 razy więcej lat niż on, gdy jej wiek był połową sumy ich aktualnego wieku
x-b - wiek księżniczki, który jest równy średniej arytmetycznej ich obecnego wieku

\(\displaystyle{ x,y,a,b \mathbb{N} \\ \begin{cases} x-b=\frac{x+y}{2} \\ x=y+a \\ \frac{x+a}{y-b}=2 \end{cases} \\ \begin{cases} x+a=2y-2b \\ x-a=y \end{cases} \\ 2x=3y-2b \\ \begin{cases} 2x=3y-2b \\ 2x-2b=x+y \iff x=2b+y \end{cases} \\ 3x=4y \\ y=\frac{3x}{4}}\)

Nie wolno nam też zapomnieć, że:
\(\displaystyle{ x-b=\frac{x+y}{2} \\ x-b=\frac{x+\frac{3x}{4}}{2} \\ x-b=\frac{7x}{8} \\ b=\frac{x}{8} \\ x=8k, \ k \mathbb{N_{+}}}\)

Oczywiście wiek księcia nie przekracza zwykle 200 lat, ale od strony matematycznej obliczenia są poprawne

[f16]

Zapomniałem dodać podpowiedzi, oto one:
1.Książę ma 20 lat a księżniczka 30
2.Książę ma 40 lat a księżniczka 30
3.Książę ma 30 lat a księżniczka 40
4.Książę ma 30 lat a księżniczka 20
5.Oboje mają tyle samo lat

Prosiłbym o wyjaśnienie równania \(\displaystyle{ \frac{x+a}{y-b}=2}\) gdyż ze względu na inną metodę rozwiązywania oraz poźną porę niedokońca jest dla mnie jasne

[Sylwek]

x-b - wiek księżniczki, który jest równy średniej arytmetycznej ich obecnego wieku, w tym czasie wiek księcia jest równy y-b

y+a - wiek księcia, kiedy księżniczka będzie miała 2 razy więcej lat niż on, gdy jej wiek był połową sumy ich aktualnego wieku, w tym czasie wiek księżniczki jest równy x+a

Przekształcę trochę treść:
Książe ma y lat, a księżniczka ma x lat - książę będzie miał tyle samo za a lat, wtedy jego wiek będzie wynosił y+a lat. W tym czasie księżniczka ma x+a lat. Jest to 2 razy więcej od wieku księcia w momencie, gdy ona miała x-b lat, a na dodatek jej ówczesny wiek był średnią arytmetyczną obecnego wieku księcia i księżnicznki. Książę miał wówczas y-b lat.

\(\displaystyle{ x+a=2(y-b) \\ \frac{x+a}{y-b}=2}\)

Oczywiście jedyną poprawną jest, że księżna ma 40 (40=8*5) lat, a książę 30.

[f16]

Źle się do tego zabrałem. Dzięki za pomoc