[Nierówności] Nierówność dla ułamków

[matex_06]

Mam taka nierówność - dla \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \geq 4 \left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right)}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c} \geq 4 \frac{c}{a+b} \Rightarrow (a+b)^2 \geq 4c^2}\)
itd.
\(\displaystyle{ (a+b)^2 + (a+c)^2 + (b+c)^2 \geq 4 (a^2 + b^2 + c^2)}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \geq 2 a^2 + 2 b^2\\
0 \geq (a-b)^2}\)
Postępując analogicznie dalej mamy:
\(\displaystyle{ (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 \leq 0}\)
Wydaje mi się, że zwrot nierówności powinien być w przeciwną stronę...

[Piotr Rutkowski]

To jest proste. Masz nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}}\)
(łatwo udowodnić ze średnich).

Po utworzeniu takich trzech nierówności możesz je zsumować i wyjdzie Ci nasza nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+\frac{a}{c} \geq \frac{4a}{b+c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}+\frac{b}{c} \geq \frac{4b}{a+c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{a}+\frac{c}{b} \geq \frac{4c}{b+a}}\)
Zsumuj to i jest git

[ Dodano: 6 Lipca 2007, 19:49 ]
Luka, skąd masz, że
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c} \geq \frac{4c}{a+b}}\)???
Nierówność jest w porządku

[luka52]

polskimisiek, biorę pierwszy wyraz z lewej strony i ostatni z prawej strony nierówności. Następnie analogicznie z pozostałymi wyrazami.

PS. Heh teraz to już zgupiałem kompletnie, nie mogę błędu znaleźć ??: .

[Piotr Rutkowski]

Nie możesz sobie z tej nierówności "wyciągnąć" dowolnych wyrazów i liczyć na to, że dla nich także zachodzi nierówność. Nierówność zachodzi tylko i wyłącznie dla wszystkich trzech wyrażeń.

[luka52]

Heh, OK