oblicz granicę

[pe2de2]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} \left(\frac{\sqrt{2x+7}-3}{(x-2)^{3}+1}\right)}\)

prosiłbym o pomoc, gdyż ni jak nie chce mi to wyjść, jeśli można, to prosiłbym o kilka kroków po drodze, lub o jakis przepis na tego typu granice

[mol_ksiazkowy]

t=x-2 dazy do -1

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{2x+7}-3}{(x-2)^{3}+1}= \\ \lim_{t\to -1} \frac{\sqrt{2t+11}-3}{t^3+1}= \lim_{t\to -1} \frac{\sqrt{2t+11}-3}{3(t+1)}= \lim_{t\to -1} \frac{\sqrt{2t+11}-3}{3(t+1)} \frac{\sqrt{2t+11}+3}{\sqrt{2t+11}+3} =}\)

i tu sie piknie skroci...

[smiechowiec]

Na podstawie reguły de l'Hôspitala ta granica jest równa granicy funkcji pochodnych ilorazu licznika i mianownika.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} = \frac{\sqrt{2x+7}-3}{(x-2)^{3}+1} = \frac{ (\sqrt{2x+7}-3)'}{((x-2)^{3}+1)'} = \frac{2}{2\sqrt{2x + 7}\cdot 3 \cdot(3x - 2)^2 \cdot 3}= \frac{1}{27}}\)




Molu książkowy (t + 1) -> 0

[luka52]

smiechowiec, po zastosowaniu reguły de l'Hospitala, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{1}{3 (x-2)^2 \sqrt{2x+7}} = \frac{1}{9}}\)

BTW. Nie ma co tutaj z tą granicą kombinować ??: :
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+7} - 3 }{(x-2)^3 + 1} = \lim_{x \to 1} \left( \frac{\sqrt{2x+7} - 3 }{(x-2)^2 + 1} \cdot \frac{\sqrt{2x+7} + 3 }{\sqrt{2x+7} + 3 } \right) = \\
= \lim_{x \to 1} \frac{2}{(x^2 - 5x + 7)(\sqrt{2x+7} + 3)} = \frac{1}{9}}\)

[smiechowiec]

prawda, w techu trochę to mało czytelnie wygląda i namieszałem z tymi trójkami.

[pe2de2]

luka52, dzięki wszystko fajnie pozatym, że jest sześcian zamiast kwadratu (w mianowniku) ;P

ale przepis już mam to myślę, że sobie poradzę

[luka52]

pe2de2, po prostu źle przepisałem, oprócz tej gafy reszta jest OK.

[mol_ksiazkowy]

smiechowiec napisal:

Molu książkowy (t + 1) -> 0

\(\displaystyle{ t^3+1=(t+1)(t^2-t+1)}\)