Witam! Zaczęłam właśnie moją przygodę z algebrą i już problem
Zadanko: Zbadać czy pierwiastki n-tego stopnia z jedności stanowią grupę ze względu na mnożenie zespolone. Prosiłabym o rozwiązanie krok po kroku. Z góry dziękuję i pozdrawiam
Czy zbiór stanowi grupę?
Czy zbiór stanowi grupę?
Udowodnić, że każdy pierwiastek jest naturalną potęgą pierwiastka pierwotnego - stąd wynika, że jest to grupa cykliczna.
-
Kasiula@
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Podlasie
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 27 razy
Czy zbiór stanowi grupę?
Chciałaś krok po kroku. Spróbuję. Zrobię to z definicji,ale pokolei:
\(\displaystyle{ G=\{\cos (\frac{2k\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k\pi}{n}) : k=0,...,n-1\}}\)
Pokażemy, że \(\displaystyle{ (G, )}\) jest grupą.
*
*
1 warunek na grupe to łączność działania:
\(\displaystyle{ [ (\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n})) (\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}) ) ] (\cos (\frac{2k_{3}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{3}\pi}{n}) ) = [(\cos(\frac{2k_{1}\pi}{n}) \cos(\frac{2k_{2}\pi}{n}) - \sin(\frac{2k_{1}\pi}{n}) \sin(\frac{2k_{2}\pi}{n})) + i(\cos(\frac{2k_{1}\pi}{n}) \sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}) + \sin(\frac{2k_{1}\pi}{n}) \cos(\frac{2k_{2}\pi}{n}))] (\cos (\frac{2k_{3}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{3}\pi}{n}) ) = [\cos(\frac{2(k_{1}+k_{2})\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(k_{1}+k_{2})\pi}{n})] (\cos (\frac{2k_{3}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{3}\pi}{n}) )= \cos(\frac{2(k_{1}+k_{2}+k_{3})\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(k_{1}+k_{2}+k_{3})\pi}{n})}\)
analogicznie robiąc:
\(\displaystyle{ (\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n})) [(\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}) ) (\cos (\frac{2k_{3}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{3}\pi}{n}) )] = \cos(\frac{2(k_{1}+k_{2}+k_{3})\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(k_{1}+k_{2}+k_{3})\pi}{n})}\)
Zatem otrzymujemy łączność działania.
*
*
2 warunek na grupe to istnienie elementu neutralnego w \(\displaystyle{ G}\):
Niech \(\displaystyle{ e=(\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n}))}\) będzie szukanym elementem neutralnym,czyli:
\(\displaystyle{ (\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n})) (\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}) ) = (\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}))}\)
Stąd otrzymujemy,że \(\displaystyle{ k_{1}=0}\), czyli \(\displaystyle{ e=1 \ i \ e G}\)
Czyli istnieje element neutralny ze względu na mnożenie zespolone w \(\displaystyle{ G}\).
*
*
3 warunek na grupe to istnienie elementu odwrotnego do danego.
Weźmy dowolny element \(\displaystyle{ x=\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n}) G}\). Szukamy elementu odwrotnego \(\displaystyle{ y=\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n})}\). Czyli:
\(\displaystyle{ (\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n})) (\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}) ) = e}\)
\(\displaystyle{ \cos(\frac{2(k_{1}+k_{2})\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(k_{1}+k_{2})\pi}{n}) = 1}\)
\(\displaystyle{ k_{1}+k_{2}=0 k_{2}=-k_{1}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ x^{-1}=y=\cos (\frac{2(-k_{1})\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(-k_{1})\pi}{n})= \cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) - i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n})}\)
Oraz \(\displaystyle{ x^{-1} G}\). Zatem mamy element odwrotny w \(\displaystyle{ G}\).
*
*
Na mocy 1,2,3 pierwiastki n-tego stopnia z jedności stanowią grupę ze względu na mnożenie zespolone.
*
*
*
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ G=\{\cos (\frac{2k\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k\pi}{n}) : k=0,...,n-1\}}\)
Pokażemy, że \(\displaystyle{ (G, )}\) jest grupą.
*
*
1 warunek na grupe to łączność działania:
\(\displaystyle{ [ (\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n})) (\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}) ) ] (\cos (\frac{2k_{3}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{3}\pi}{n}) ) = [(\cos(\frac{2k_{1}\pi}{n}) \cos(\frac{2k_{2}\pi}{n}) - \sin(\frac{2k_{1}\pi}{n}) \sin(\frac{2k_{2}\pi}{n})) + i(\cos(\frac{2k_{1}\pi}{n}) \sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}) + \sin(\frac{2k_{1}\pi}{n}) \cos(\frac{2k_{2}\pi}{n}))] (\cos (\frac{2k_{3}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{3}\pi}{n}) ) = [\cos(\frac{2(k_{1}+k_{2})\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(k_{1}+k_{2})\pi}{n})] (\cos (\frac{2k_{3}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{3}\pi}{n}) )= \cos(\frac{2(k_{1}+k_{2}+k_{3})\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(k_{1}+k_{2}+k_{3})\pi}{n})}\)
analogicznie robiąc:
\(\displaystyle{ (\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n})) [(\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}) ) (\cos (\frac{2k_{3}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{3}\pi}{n}) )] = \cos(\frac{2(k_{1}+k_{2}+k_{3})\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(k_{1}+k_{2}+k_{3})\pi}{n})}\)
Zatem otrzymujemy łączność działania.
*
*
2 warunek na grupe to istnienie elementu neutralnego w \(\displaystyle{ G}\):
Niech \(\displaystyle{ e=(\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n}))}\) będzie szukanym elementem neutralnym,czyli:
\(\displaystyle{ (\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n})) (\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}) ) = (\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}))}\)
Stąd otrzymujemy,że \(\displaystyle{ k_{1}=0}\), czyli \(\displaystyle{ e=1 \ i \ e G}\)
Czyli istnieje element neutralny ze względu na mnożenie zespolone w \(\displaystyle{ G}\).
*
*
3 warunek na grupe to istnienie elementu odwrotnego do danego.
Weźmy dowolny element \(\displaystyle{ x=\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n}) G}\). Szukamy elementu odwrotnego \(\displaystyle{ y=\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n})}\). Czyli:
\(\displaystyle{ (\cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n})) (\cos (\frac{2k_{2}\pi}{n}) + i\sin(\frac{2k_{2}\pi}{n}) ) = e}\)
\(\displaystyle{ \cos(\frac{2(k_{1}+k_{2})\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(k_{1}+k_{2})\pi}{n}) = 1}\)
\(\displaystyle{ k_{1}+k_{2}=0 k_{2}=-k_{1}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ x^{-1}=y=\cos (\frac{2(-k_{1})\pi}{n}) + i\sin(\frac{2(-k_{1})\pi}{n})= \cos (\frac{2k_{1}\pi}{n}) - i\sin(\frac{2k_{1}\pi}{n})}\)
Oraz \(\displaystyle{ x^{-1} G}\). Zatem mamy element odwrotny w \(\displaystyle{ G}\).
*
*
Na mocy 1,2,3 pierwiastki n-tego stopnia z jedności stanowią grupę ze względu na mnożenie zespolone.
*
*
*
Pozdrawiam