punkt na wykresie

[setch]

Znajdź punkt na wykresiu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2}{2}}\) położony najbliżej punktu (5;1)

[Amon-Ra]

Odległość między zadanym punktem i wykresem funkcji będzie najmniejsza, gdy długość wektora łączącego ten punkt z pewnym punktem (którego współrzędne trzeba obliczyć) na wykresie funkcji osiągnie minimum.

Wektor, który łączy punkt \(\displaystyle{ (x,f(x))}\) z punktem \(\displaystyle{ (5,1)}\) ma współrzędne np. takie:

\(\displaystyle{ \vec{w}=\left[x-5,\frac{x^2}{2}-1\right]}\)

Oblicz długość wektora \(\displaystyle{ ||\vec{w}||}\), otrzymasz pewną funkcję zmiennej x. Następnie obliczasz argument, dla którego funkcja przyjmuje minimum - standardowo, liczysz pochodną i przyrównujesz do zera. Stąd bardzo łatwo otrzymasz współrzędne punktu.

[setch]

Jak policzyć pochodną takiej funkcji \(\displaystyle{ w(x)=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-10x+26}}\)?

[Amon-Ra]

Standardowo - pochodna funkcji zewnętrznej razy pochodna wnętrza.
Pochodna pierwiastka to odwrotność jego dwukrotności, pochodna wnętrza to pochodna zwykłego wielomianu:

\(\displaystyle{ \frac{dw}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x^4}{4}-10x+26}}\cdot \left(4\cdot \frac{x^3}{4}-10\right)=\frac{x^3-10}{2\sqrt{\frac{x^4}{4}-10x+26}}}\)

Teraz przyrównanie do zera i wyciągnięcie wniosków .

[max]

W tym przypadku można sprawę nieco uprościć, gdyż wystarczy, że przyrównamy do zera pochodną 'wnętrza' (oczywiście należy wziąć poprawkę na dziedzinę funkcji złożonej).

[Amon-Ra]

Oczywiście, przecież do tego się całość sprowadza .

[max]

No tak, chodziło mi o to, że liczenie 'całej' pochodnej jest w zasadzie zbędne, wystarczy wziąć pochodną z tego co pod pierwiastkiem, bo funkcja \(\displaystyle{ y = \sqrt{x}}\) jest rosnąca.

[Amon-Ra]

Dobrze, ale skoro liczymy pochodną, to nie możemy sobie odpuścić ot tak części obliczeń - wszak to pochodna ma się zerować, a nie jakiś bliżej niezidentyfikowany wielomian. Ale jasne, masz słuszność co do finalnego efektu naszych działań .

[max]

Ale przecież jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, to złożenie \(\displaystyle{ f\circ g}\) przyjmuje wartość największą w tym samym punkcie co funkcja \(\displaystyle{ g}\) (to samo tyczy się wartości najmniejszej) i dlatego możemy ograniczyć się do badania wartości największej odpowiedniego obcięcia funkcji podpierwiastkowej.

[setch]

Tylko jest taka sprawa, że licealista nie umie obliczać pochodnej funkcji złożonej

[Amon-Ra]

Obliczyłem ją za Ciebie.

Max, w porządku, nie neguję niczego. Piszę przecież wyraźnie, że nie podważam prawdziwości czy poprawności Twoich wypowiedzi, broń Boże, tylko zwracam uwagę na to, że należy obliczenia poprowadzić do końca.

[setch]

Amon-Ra, czy tam zamiast 36 nie powinno być 26?

[Sir George]

Zadanie można też rozwiązać bez pochodnych złożonych. Wystarczy zauważyć, że punkt o współrzędnych (A,B) jest położony najbliżej takiego punktu wykresu funkcji f, że prosta łącząca punkty (x,f(x)) i (A,B) jest prostopadła do stycznej do wykresu w punkcie (x,f(x)).
Mamy zatem do rozwiązania r-nie: (f(x)-B)/(x-A)=-1/f'(x)


W naszym przypadku otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{\frac{x^2}2-1}{x-5}=-\frac1x}\)
co daje po krótkich przekształceniach \(\displaystyle{ x^3-10=0}\)


Pozdrawiam...

[Amon-Ra]

Amon-Ra, czy tam zamiast 36 nie powinno być 26?

Pardon, jasne, że tak. Palec mi się omsknął .

[max]

Max, w porządku, nie neguję niczego. Piszę przecież wyraźnie, że nie podważam prawdziwości czy poprawności Twoich wypowiedzi, broń Boże, tylko zwracam uwagę na to, że należy obliczenia poprowadzić do końca.

Aha, no to przepraszam, odniosłem troszkę inne wrażenie

setch - w związku z tym co napisałem wcześniej funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{\frac{x^{4}}{4} - 10 x + 26}}\) przyjmuje wartość największą wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ g(x) = \frac{x^{4}}{4} - 10x + 26}\) przyjmuje wartość największą, a z pochodną tej funkcji licealista już nie powinien mieć problemu.

Ale pomysł Sir George'a ciekawszy...