Jak udowodnić, że jeśli zbiór D jest jednospójny i \(\displaystyle{ \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial P}{\partial y}}\), to istnieje taka funkcja G:D→R,
że G jest potencjałem pola wektorowego w zbiorze D?
Poprawiłem zapis. luka52
Dowód przy całkach niezależnych od drogi całkowania
-
Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 878
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
Dowód przy całkach niezależnych od drogi całkowania
Może tak - dowód jest bardzo nieformalny.
Jeżeli istnieje G takie, że jest potencjałem pola, to znaczy, iż wyrażenie \(\displaystyle{ \partial G=P\partial x + Q\partial y}\) jest jego różniczką zupełną; dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ \partial x}\), dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{\partial G}{\partial x}=P+Q\frac{\partial y}{\partial x}}\)
Jednakże zmienne y i x są niezależne i z tytułu tego \(\displaystyle{ \frac{\partial y}{\partial x}=0}\), przez co:
\(\displaystyle{ \frac{\partial G}{\partial x}=P}\)
Rozumując podobnie, ale tym razem po podzieleniu przez \(\displaystyle{ \partial y}\):
\(\displaystyle{ \frac{\partial G}{\partial y}=Q}\)
Obliczmy teraz drugie pochodne mieszane funkcji G:
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 G}{\partial x y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial G}{\partial y}\right)=\frac{\partial Q}{\partial x} \\ \frac{\partial ^2 G}{\partial y x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)=\frac{\partial P}{\partial y}}\)
Jednakowoż z twierdzenia Schwartza \(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 G}{\partial x y}=\frac{\partial ^2 G}{\partial y x}}\):
\(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}\)
Jeżeli istnieje G takie, że jest potencjałem pola, to znaczy, iż wyrażenie \(\displaystyle{ \partial G=P\partial x + Q\partial y}\) jest jego różniczką zupełną; dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ \partial x}\), dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{\partial G}{\partial x}=P+Q\frac{\partial y}{\partial x}}\)
Jednakże zmienne y i x są niezależne i z tytułu tego \(\displaystyle{ \frac{\partial y}{\partial x}=0}\), przez co:
\(\displaystyle{ \frac{\partial G}{\partial x}=P}\)
Rozumując podobnie, ale tym razem po podzieleniu przez \(\displaystyle{ \partial y}\):
\(\displaystyle{ \frac{\partial G}{\partial y}=Q}\)
Obliczmy teraz drugie pochodne mieszane funkcji G:
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 G}{\partial x y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial G}{\partial y}\right)=\frac{\partial Q}{\partial x} \\ \frac{\partial ^2 G}{\partial y x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)=\frac{\partial P}{\partial y}}\)
Jednakowoż z twierdzenia Schwartza \(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 G}{\partial x y}=\frac{\partial ^2 G}{\partial y x}}\):
\(\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}}\)