całki, zadania z kolokwium

[eyekiss]

1. Korzystając z twierdzenia o zmianie zmiennej i wzorów podstawowych obliczyć całkę nieoznaczoną . \(\displaystyle{ \int x\cdot3^{x^{2}}dx}\)

Dla jakiej wartości stałej całkowania punkt o współrzędnych (1,0) należy do wykresu otrzymanej rodziny funkcji?

2. Obliczyć dwie z podanych całek nieoznaczonych: a)\(\displaystyle{ \int tgxdx}\) ; b) \(\displaystyle{ \int x sinxdx}\); c) .\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{3x+2}}\)

3. Wyznaczyć pole obszaru ograniczonego parabolą o równaniu \(\displaystyle{ y=2x^{2}-6x}\) i osią OX

4. Obliczyć objętość stożka o wysokości h=3 powstałego przez obrót prostej o równaniu y=2 dokoła osi OX.

Poprawiłem temat. luka52

[CheGitarra]

3.


\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{3}dx t\limits_{2x^2-6x}^{0}1dy = t\limits_{0}^{3}(-2x^2+6x)dx =
ft[-\frac{2x^3}{3}+3x^2 \right]_0^3 = 9}\)

Nawet sensowny wynik...



2. a)
\(\displaystyle{ \int tgxdx = t \frac{sinx}{cosx} dx= ft[\begin{array}{ccc}cosx = t\\ -sinxdx = dx\end{array}\right] = t -\frac{1}{t} dt=\\= -log t + C_{1} = ft[\begin{array}{ccc}t = cosx\end{array}\right]= -\log cosx + C}\)

Tu nie pamiętam, czy zmieniało sie indeks przy C, na upartego można dać to samo C chyba...

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ \int x\cdot3^{x^{2}}dx \\
x^{2}=t\\
2xdx=dt\ \ xdx=\frac{1}{2}dt\\
\frac{1}{2}\int 3^{t}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{3^{t}}{ln 3}+C=\frac{3^{x^{2}}}{2ln3}+C}\)

POZDRO

[CheGitarra]

b) \(\displaystyle{ \int x sinxdx = ft[\begin{array}{ccc}u = x&v'=sinx\\u' = 1&v=-cosx\end{array}\right] = -xcosx + t cosx = -xcosx+sinx + C}\)

[wrednaszantazystka]

CheGitarra, całka z 1/x to ln|x| : )