Równania różniczkowe

[mohini]

Może mi ktoś pomóc w rozwiązaniu równań różniczkowych? Bede wdzieczna!

a) \(\displaystyle{ xyy ` = 1-x^2}\)
b) \(\displaystyle{ yy` = \frac{ 1-2x}{y}}\)

oraz równania rózniczkowe liniowe

a) y` +2y =4x
b) \(\displaystyle{ y` +2xy =xe^{-x^2}}\)
( t0 dwa przy x ma byc do potegi tylko mi nie wchodzi)

Dzieki za okazana pomoc bo tych równan nie kapuje :/

Jeżeli chcesz użyć "potęgi w potędze", musisz użyć nawiasów, np:

Kod: Zaznacz cały

xe^{-x^2}

luka52[/i][/color]

[luka52]

ad a)
\(\displaystyle{ y \frac{dy}{dx} = \frac{1-x^2}{x}\\
y \, dy = \frac{1-x^2}{x}dx\\
\frac{y^2}{2} = C - \frac{x^2}{2} + \ln x\\
y^2 = 2C - x^2 + 2 \ln x}\)

ad b)
\(\displaystyle{ y^2 \, dy = (1-2x) \, dx\\
\frac{y^3}{3} = x - x^2 + C\\
y^3 = 3x - 3x^3 + 3C}\)

[mohini]

ad a)
\(\displaystyle{ y \frac{dy}{dx} = \frac{1-x^2}{x}\\
y \, dy = \frac{1-x^2}{x}dx\\
\frac{y^2}{2} = C - \frac{x^2}{2} + \ln x\\
y^2 = 2C - x^2 + 2 \ln x}\)

ad b)
\(\displaystyle{ y^2 \, dy = (1-2x) \, dx\\
\frac{y^3}{3} = x - x^2 + C\\
y^3 = 3x - 3x^3 + 3C}\)

Dzieki śłiczne . Mógłbys mi ogolnie wytłumaczyc jak do tego mam podejsc tak najprosciej j ak sie da?

[luka52]

W tych pierwszych dwóch przykładach można bez problemu rozdzielić zmienne, tzn. "iksy" na jedną stronę, a "igreki" na drugą. Następnie obustronnie całkujemy.

[ Dodano: 24 Czerwca 2007, 12:50 ]
Następne dwa:
ad a)
Rozwiązaniem równania jednorodnego (y' + 2y = 0) jest:
\(\displaystyle{ y_1 = C e^{-2x}}\)
Następnie metodą przewidywania przewidujemy jako całkę szczególną wyrażenie postaci:
\(\displaystyle{ y_2 = A x + B}\)
Podstawiając powyższe do równania wyliczmy A i B:
\(\displaystyle{ A + 2Ax + 2 B = 4x\\
A = 2, \quad B = -1}\)
Całką szczególną jest zatem \(\displaystyle{ y_2 = 2x -1}\)
Ostatecznie rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ y = y_1 + y_2 = C e^{-2x} + 2x -1}\)

[ Dodano: 24 Czerwca 2007, 12:59 ]
ad b)
Rozwiązujemy najpier równanie:
\(\displaystyle{ y' + 2xy = 0}\)
Rozwiązaniem tego równania jest (wystarczy zmienne rozdzielić):
\(\displaystyle{ y_1 = C e^{-x^2}}\)
Następnie zastosujemy metodę uzmienniania stałej:
\(\displaystyle{ y = u e^{-x^2}}\)
skąd:
\(\displaystyle{ y' = u' e^{-x^2} - 2 ux e^{-x^2}}\)
Podstawiając do równania:
\(\displaystyle{ u' e^{-x^2} - 2 ux e^{-x^2} + 2x u e^{-x^2} = x e^{-x^2}\\
u' = x\\
u = C + \frac{x^2}{2}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ y = u e^{-x^2} = Ce^{-x^2} +\frac{x^2 e^{-x^2}}{2}}\)