suma reszt

[mol_ksiazkowy]

Dana jest Liczba pierwsza \(\displaystyle{ p \ne 2}\). Dla każdej \(\displaystyle{ k \in \{1,...,p-1 \}}\) wyznaczam resztę\(\displaystyle{ r_k}\) z dzielenia liczby \(\displaystyle{ k^p}\) przez \(\displaystyle{ p^2}\). Ile wynosi suma tak otrzymanych \(\displaystyle{ r_k}\)?

[max]

Niech \(\displaystyle{ r_{k} = x}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ k \in \{1, \ldots, p-1\}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ k^{p}\equiv x \bmod{p^{2}}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ p|p^{2}}\), to również:
\(\displaystyle{ k^{p} \equiv x \bmod{p}}\)

I tu była bzdura, bo korzystając z małego tw Fermata otrzymujemy co najwyżej:
\(\displaystyle{ x \equiv k \bmod{p}}\)

[Tristan]

A czym jest to n w ostatnim wzorze? Ja dorachowałem się innego wyniku, tj. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{p-1} r_{k}= \frac{p-1}{2} p^2}\).

[przemk20]

A co gdy x > p, to co wtedy ????

[Tristan]

Domyślnie \(\displaystyle{ x \in \{ 1,2,... , p^2 -1 \}}\), inaczej wartość sumy byłaby niejednoznaczna.

[przemk20]

no tak, ale gdy np. x= p+2 to wtedy;
x mod p = 2, a r=p+2

[Tristan]

Ale czemu rozważasz x mod p, skoro w zadaniu jest wyraźnie napisane, że rozważamy x mod \(\displaystyle{ p^2}\)?

[przemk20]

chodzi mi o taki fakt ta suma wynosi;
\(\displaystyle{ 1+2+..+p-1}\)
a gdy
\(\displaystyle{ p^2 > x > p}\)
to wtedy max sumuje
\(\displaystyle{ x \bmod{p} < p,}\)
a skladnik sumy powinien wynosic
\(\displaystyle{ x \bmod{p^2} > p}\)

[Tristan]

Wybacz, ale nie błyszczę dzisiaj inteligencją i wciąż nie rozumiem. Dlatego podam przykład, a Ty, jeśli możesz, podasz mi na nim co Ci się nie zgadza i dlaczego.
Niech \(\displaystyle{ p=5}\). Mamy wtedy, że \(\displaystyle{ k \{ 1,2,3,4 \}}\) oraz:
\(\displaystyle{ 1^5 \equiv 1( mod\ 25) \\ 2^5 \equiv 7 ( mod\ 25) \\ 3^5 \equiv 18 ( mod\ 25) \\ 4^5 \equiv 24 ( mod\ 25)}\)
Szukana suma wynosi więc \(\displaystyle{ 1+7+18+24=2 25= \frac{5-1}{2} 5^2}\).

[przemk20]

Jest OK,a moglbys poazac skad ten wzor ci sie wzial ??

[Tristan]

Nie mam żadnego konkretnego dowodu. Sprawdziwszy kilka początkowych przypadków doszedłem do wzoru, który pokazałem , ale sprowadza się to do wykazania, że \(\displaystyle{ n^p +(p-n)^p \equiv 0 ( mod\ p^2)}\), dla \(\displaystyle{ n \{ 1,2, ... ,p-1 \}}\). A nad dowodem tej kongruencji wciąż myślę

[kwadracik]

A nad dowodem tej kongruencji wciąż myślę

[fade]Podpowiedż:[/fade]

Ukryta treść:    

Skorzystaj ze wzoru dwumianowego

[Tristan]

Dziękuję kwadraciku . Wychodzi bezproblemowo. Teraz tylko opis...
Oczywiście \(\displaystyle{ n, p-n}\) są względnie pierwsze z \(\displaystyle{ p^2}\), więc przystają do czegoś większego od zera i mniejszego od \(\displaystyle{ p^2}\). A skoro zachodzi ta kongruencja \(\displaystyle{ n^p + (p-n)^p \equiv (mod\ p^2)}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ n^p}\) i \(\displaystyle{ (p-n)^p}\) przystają do takich reszt, których suma jest równa \(\displaystyle{ p^2}\) ( bo jest większa od zera i mniejsza od \(\displaystyle{ 2p^2}\)). Ponieważ danych kongruencji mamy \(\displaystyle{ p-1}\) i łączymy je w pary, dostajemy więc \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) wyrażeń, z których każde ma wartość \(\displaystyle{ p^2}\), stąd szukana suma wynosi \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2} p^2}\).

[bondyros]

wiem ze to tak troche pozno, ale lepsze to niz nic --- co kwadracik napisal to nie wiem - ja podam swoje rozumowanie

skoro p jest pierwsza i p≠2 to p jest liczba nieparzysta - czyli 2|(p-1)

niech r<=(p-1)/2. r^p ≡ x (mod p^2); wykarze, ze: (p-r)^p≡ p^2-x (mod p^2)

(p-r)^p (mod p^2)=p*p*(-k)^(p-1) + (-k)^p (mod p^2)=-(k^p) (mod p^2) = -x (mod p^2) = p^2 - x

czyli suma reszt wynosi p^2*(p-1)/2

[Tristan]

Po pierwsze: piszemy "wykaże".
Po drugie: zapoznaj się z LaTeX-em.