rownanie z rownaniem kwadratowym

soocharek · Post autor: **soocharek** » 22 cze 2007, o 14:29

Mam problem z zadankiem .
Mam takie zadanie: Wyznacz najwieksza i najmnijesza wartosc funkcji:
\(\displaystyle{ g(x)= (x-1)\sqrt{8+2x-x^2}}\)

I teraz nie wiem czy zeby rozwiazac to rownanie to najpierw musze rozwiazac to rownanie kwadratowe i wyciagnac z rozwiazania wyciagnac pierwiastek czy jakos inaczej?
Prosze o pomoc .

Post autor: **Lady Tilly** » 22 cze 2007, o 14:54

wykres ten wygląda tak:

: AU; 1c99c5c39a3da195med.jpg (41.29 KiB) Przejrzano 194 razy

soocharek · Post autor: **soocharek** » 22 cze 2007, o 15:19

a nie mozna tego jakos wyliczyc z jakis dzialan?

Post autor: **ariadna** » 22 cze 2007, o 15:46

A może by tak pochodną policzyć i poszukać ekstremów...
Miejsca zerowe pochodnej:
-1 oraz 3.

Post autor: **Lady Tilly** » 22 cze 2007, o 19:12

ariadna pisze:Miejsca zerowe pochodnej:
-1 oraz 3.

Widać też to na wykresie - znaczy, że dobrze jest - wystarczy tylko obliczyć wartości funkcji w tych punktach.

Plant · Post autor: **Plant** » 22 cze 2007, o 19:33

Lady Tilly, sorry, że się czepiam, ale skąd Ty bierzesz te wykresy? ??: Na moje to wygląda tak:

Dargi · Post autor: **Dargi** » 22 cze 2007, o 20:08

Plant, to jest ten sam wykres lecz Lady Tilly, połączył punkty które odpowidają danemu argumentowi.

Plant · Post autor: **Plant** » 22 cze 2007, o 20:16

No tak, ale skoro mowa o wykresie, to myślę, że należy dać coś wierniejszego.. Ponieważ wykres funkcji tak nie wygląda, jedynie uproszczony jej schemat.

Silver · Post autor: **Silver** » 23 cze 2007, o 10:57

Dziedzina:
\(\displaystyle{ 8+2x-x^{2}\geqslant0\\
\Delta=36\\
D:x\in[-2;4]}\)

Można policzyć z pochodnej.
Inny zapis funkcji:
\(\displaystyle{ g(x)= (x-1)\sqrt{8+2x-x^2} =(x-1)(-x^2+2x+8)^{\frac{1}{2}}\\}\)
I liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ g'(x)=(x-1)'(-x^2+2x+8)^{frac{1}{2}}+(x-1)*[(-x^2+2x+8)^{frac{1}{2}}]'=\
=(-x^2+2x+8)^{frac{1}{2}}+(x-1)*[frac{1}{2}(-x^2+2x+8)^{-frac{1}{2}}(-2x+2)=\
=(-x^2+2x+8)^{frac{1}{2}}+(-2)frac{1}{2}(-x^2+2x+8)^{-frac{1}{2}}(x-1)^{2}=\
=(-x^2+2x+8)^{frac{1}{2}}-frac{(x-1)^2}{(-x^2+2x+8)^{frac{1}{2}}}=\
=frac{(-x^2+2x+8)-(x-1)^2}{(-x^2+2x+8)^{frac{1}{2}}}=\
=frac{(-x^2+2x+8)-(x^2-2x+1)}{(-x^2+2x+8)^{frac{1}{2}}}=\
\
g'(x)=frac{-2x^2+4x+7}{(-x^2+2x+8)^{frac{1}{2}}}\}\)
Na przebieg zmienności funkcji mają licznik. Mianownik nie gdyż w dziedzinie funkcji nie ma wpływu(licznik jest dodatnie) Zatem liczymy pierwiastki dwumianu w liczniku. A później sporządzamy prosty wykres pochodnej (wężyk):

\(\displaystyle{ \Delta=72=4*9*2\\
x_{1}=\frac{-4-6\sqrt{2}}{-4}=1+\frac{3}{2}\sqrt{2}\approx3,1213\\
x_{2}=\frac{-4+6\sqrt{2}}{-4}=1-\frac{3}{2}\sqrt{2}\approx-1,1213\\}\)
Więc się zgadza.

Teraz tylko wężyk (należy uwzględnić dziedzinę):
\(\displaystyle{ g'(x)>0 \iff x\in(1-\frac{3}{2}\sqrt{2}; 1+\frac{3}{2}\sqrt{2}; 4)\\
g'(x)

Mam nadzieję, że pomogłem

Bez pochodnych ciężko by to było dokładnie policzyć.}\)

soocharek · Post autor: **soocharek** » 27 cze 2007, o 11:39

dzieki Wam wszytskim za pomoc :*.