2 calki oznaczone

[Hajni]

a)\(\displaystyle{ \int\limits_{2}^{4}\frac{dx}{x^{2}-4x+8}=}\)
b)\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{3} (x-3)e^{-3x}dx=}\)
I tutaj wielka prosba do Was:
czy moglibyscie zamiescic rozwiazanie krok po kroku? Jaka metoda zostala uzyta.
Pozdrawiam i dziekuje

[luka52]

ad a)
\(\displaystyle{ \int\limits_2^4 \frac{dx}{(x-2)^2 + 4}}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ 2t = (x-2), \quad dx = 2 \, dt}\)
\(\displaystyle{ 2 \int\limits_0^1 \frac{dt}{4t^2 + 4} = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 \frac{dt}{t^2 + 1} = \frac{1}{2} \arctan t \Bigg|_0^1 = \frac{\pi}{8}}\)

[max]

b) Rozbijamy na sumę dwóch całek, pierwsza idzie przez części, a druga od razu (można też zrobić podstawienie \(\displaystyle{ t = -3x}\)):
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{3}(x - 3)e^{-3x}\,\mbox{d}x = \int\limits_{0}^{3}xe^{-3x} \, + \int\limits_{0}^{3}(-3e^{-3x})\, =\\
= -\frac{xe^{-3x}}{3}\bigg |_{0}^{3} + \int\limits_{0}^{3}\frac{e^{-3x}}{3}\, + e^{-3x}|_{0}^{3} = \\
= -\frac{xe^{-3x}}{3}\bigg |_{0}^{3} - \frac{e^{-3x}}{9}\bigg |_{0}^{3} + e^{-3x}|_{0}^{3} = \\
= -e^{-9} + 0 - \frac{e^{-9}}{9} + \frac{1}{9} + e^{-9} - 1 =\\
= -\tfrac{1}{9}(e^{-9} + 8)}\)