Olimopiada Matematyczna Gimanzjalistów (druga edycja)

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 22 cze 2007, o 13:27

1. Każdemu wierzchołkowi stu-kąta foremnego trzeba przyporzadkować pewną dodatnią l. rzeczywistą. Czy możliwe jest zrobic to tak, aby dowolna liczba była równa wartości bezwzglednej róznicy jej dwóch sasiadów...?
2. W trójkacie ostrokątnym ABC punkty M i N są odpowiednio srodkami boków ACi BC. Wysokośc trojkata ABC poprowadzona z C przecina MN w punkcie D, zaś Symetralna AB odcinek MN w E. Wykaz, ze MD=NE
3. Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego każda ściana boczna jest trójkatem prostokatnym?
4. Ile jest takich liczb n należacych do {1, ..., 2007} t. ze \(\displaystyle{ n^4}\) -1 jest podzielne przez 9. Odp. uzasadnij
5. Wyznacz wszystkie trójki liczb rzeczywistych a,b, c spełniajace układ
\(\displaystyle{ ab= a+b \\
ac=a+c \\
bc=b+c}\)

matteuszek · Post autor: **matteuszek** » 22 cze 2007, o 13:44

w 5 chyba są 2 takie 3 to 0,0,0 i 2,2,2 więcej nie znam.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 22 cze 2007, o 15:23

matteuszek napisał"

w 5 chyba są 2 takie 3 to 0,0,0 i 2,2,2 więcej nie znam.

Jalk to obliczyles...daj szkic etc, ?

Plant · Post autor: **Plant** » 22 cze 2007, o 15:47

3. Istnieje. Jego

Post autor: **Lorek** » 22 cze 2007, o 16:07

mol_ksiazkowy pisze:Jalk to obliczyles...daj szkic etc,

Odjąć 2 pierwsze stronami, wychodzi a=1 lub b=c, a=1 nie spełnia 2 pierwszych równań, a jak informację b=c wykorzystamy w 3 równaniu, to otrzymujemy c=0 lub c=2.

Plant · Post autor: **Plant** » 22 cze 2007, o 16:10

4. Mam nadzieję, że się nie pomyliłem:

\(\displaystyle{ n\equiv_9\ \ \ \ \ \ |\ 0\ |\ 1\ |\ 2\ |\ 3\ |\ 4\ |\ 5\ |\ 6\ |\ 7\ |\ 8\ |}\)
\(\displaystyle{ n^4\equiv_9 \ \ \ \ \ |\ 0\ |\ 1\ |\ 7\ |\ 0\ |\ 4\ |\ 4\ |\ 0\ |\ 7\ |\ 1\ |}\)
\(\displaystyle{ n^4+1\equiv_9|\ 8\ |\ 0\ |\ 6\ |\ 8\ |\ 3\ |\ 3\ |\ 8\ |\ 6\ |\ 0\ |}\)

Czyli w każdej dziewiątce liczb, dwie z nich spełniają ten warunek. W {1, ..., 2007} mieszczą sie 223 takie dziewiątki, czyli takich liczb jest 446.

Dargi · Post autor: **Dargi** » 22 cze 2007, o 16:57

Co do piątego to można to obliczyć metodą podstawiania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=a+b\\ ac=a+c\\ bc=b+c\end{cases}
\iff \begin{cases} a=b(a-1)\\ a=c(a-1)\\ c=b(c-1)\end{cases}
\iff \begin{cases} a=b(a-1)\\ b(a-1)=c(a-1)\\ c=b(c-1)\end{cases}
\iff \begin{cases} a=b(a-1)\\ (b-c)(a-1)=0\\ c=b(c-1)\end{cases}
\iff \begin{cases} a=b(a-1)\\ b=c\vee a=1\\ c=b(c-1)\end{cases}
\iff \begin{cases} a=b(a-1)\\ b=c \\ c=b(c-1)\end{cases}
\begin{cases} a=b(a-1)\\a=1\\ c=b(c-1)\end{cases}
\iff \begin{cases} a=c(a-1)\\ b=c \\ c=c(c-1)\end{cases}
\begin{cases} 1=b(1-1)\\a=1\\ c=b(c-1)\end{cases}
\iff \begin{cases} a=c(a-1)\\ b=c \\ c(c-2)=0\end{cases}
\begin{cases} 1=0-sprzeczne\\a=1\\ c=b(c-1)\end{cases}
\iff \begin{cases} a=c(a-1)\\ b=c \\ c=0\vee c=2\end{cases}
\iff \begin{cases} a=c(a-1)\\ b=c \\ c=0\end{cases}
\begin{cases} a=c(a-1)\\ b=c \\c=2\end{cases}
\iff \begin{cases} a=0(a-1)\\ b=0 \\ c=0\end{cases}
\begin{cases} a=2(a-1)\\ b=2 \\c=2\end{cases}
\iff \begin{cases} a=0\\ b=0 \\ c=0\end{cases}
\begin{cases} a=2\\ b=2 \\c=2\end{cases}}\)

matteuszek · Post autor: **matteuszek** » 22 cze 2007, o 16:59

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} ab= a+b \\ ac=a+c \\ bc=b+c\end{array}\right.}\)
mamy ten układ i z pierwszego i drugiego równania wynika nam że b=c i teraz jak b=c to podstawiamy do trzeciego równania mamy że \(\displaystyle{ b^2=2b}\) no i są stąd 2 rozwiązania co wypisałem powyżej.

długa metoda moja dużo prostrza...

Post autor: **luka52** » 22 cze 2007, o 17:26

matteuszek pisze:długa metoda moja dużo prostrza

tylko, że już wcześniej Lorek zaproponował "Twoją" metodę...

matteuszek · Post autor: **matteuszek** » 22 cze 2007, o 18:45

luka52 pisze:
matteuszek pisze:długa metoda moja dużo prostrza
tylko, że już wcześniej Lorek zaproponował "Twoją" metodę...

Nie przeczytałem jego opisu a "tą moja" metodą obliczyłem to już wcześniej :]

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 22 cze 2007, o 20:16

co z ad 1...? hm w n=99=stu- 1 kącie foremnego bedziemy miec ciag 33 sekwencje 1, 1, 0...a dla stu chyba sie nie da ...intuicja...ad 2 geometriczne zrobi ktos...?

Post autor: *Kasia » 22 cze 2007, o 20:21

mol_ksiazkowy, "przyporządkować dodatnią liczbę rzeczywistą"

Na konkursie zrobiłam dowód przez założenie, że się da i dojście do sprzeczności. Jeśli założymy, że takie przyporządkowanie jest możliwe, a korzystamy tylko z liczb dodatnich, to każda kolejna liczba jest albo większa, albo mniejsza (zależy z której strony spojrzymy). I dochodzimy do sprzeczności.

To tak w skrócie. Całość rozwiązania zajęła mi trochę więcej...

[ Dodano: 22 Czerwca 2007, 20:23 ]
A tak właściwie, to na stronie OMG są szkice rozwiązań...

thorominth · Post autor: **thorominth** » 10 lip 2007, o 20:27

Tutaj są rozwiązania ze strony OMG:

ps.
Gratulacje dla moderatorki Katarzyny Mandziuk, za zajęcie w tym roku 13-go miejsca
Ja wysypałem się jak dziecko na 2gim etapie... aż wstyd...