Równanie różniczkowe niejednorodne

[nicniewiem]

Witam. Otoz mam pewnien problem z 4 zadankami.

\(\displaystyle{ y'' - y = e^{-x} + 3e^x}\)

\(\displaystyle{ y'' + 3y' = e^{-x} + 5}\)

\(\displaystyle{ y" + 2y' - 3y = 5 (e^x) + (x^2) + 1}\)

\(\displaystyle{ y'' - 2y' + y = (x^2) + 3x + \sin x}\)

pierw tworze równania jednorodne. wychodza mi pierwiastki i pozostaje prawa strona rownania. i tu wlasnie problem. Bo zapewne musze skorzystac z metody przewidywania ktorej do konca nie rozumiem pomoze ktos

Poprawiłem zapis.
luka52

[matteuszek]

\(\displaystyle{ y" + 2y' - 3y = 5 (e^x) + (x^2) + 1 \\
r^{2}+2r-3=0\\
r_0= 1, \ r_1 = -3 \\
y_1= C_1 e^{x} + C_2e^{-3x}}\)
przewiduje \(\displaystyle{ x^2+1}\) jako: \(\displaystyle{ y2=Ax^2+Bx+C\ y_2'=2Ax+B\ y_2''=2A}\)
no i podstawiam do równania i wychodzi A=-1/3 B=-4/3 C=-5/9.
teraz przewiduję \(\displaystyle{ 5e^x}\) jako \(\displaystyle{ y_3=Dxe^x}\) jak zapewne nie wiesz skąd to x jest stąd że \(\displaystyle{ r_0=1}\) a nasze przewidywanie jest z \(\displaystyle{ y_3=Dxe^x}\) i e jest do potęgi 1*x i to 1 jest krotnością tego pierwiastka, po prostych rachunkach masz D=5/4
i wynik
\(\displaystyle{ y=y_1+y_2+y_3=C_1 e^{x} + C_2e^{-3x} - \frac{1}{3} x^2-\frac{4}{3}x-\frac{5}{9}+\frac{5}{4}xe^x}\)
Powinno być dobrze sprawdź podstawiając, mi się już nie chce

Co do podpunktu z sin(x) lub cos(x) jak przewidujesz to masz zawsze y=Asinx+Bcosx niezależnie, czy sin i cos występuje przewidujesz obydwie funkcje.

[luka52]

Dla przykładu zrobię przykład pierwszy.

Układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyczne równania jednorodnego
\(\displaystyle{ r^2 - 1 = 0 r = 1}\)
Czyli rozwiązaniem równania jednorodnego jest
\(\displaystyle{ y_1 = C_1 e^x + C_2 e^{-x}}\)
Będziemy znajdować teraz całki szczególne (metodą przewidyań) następujących dwóch równań
\(\displaystyle{ (1) \quad y'' - y = e^{-x}\\
(2) \quad y'' - y = 3 e^x}\)
Po kolei:
W równaniu (1), jako całkę szczególną przewidujemy wyrażenie postaci:
\(\displaystyle{ y_2 = A x e^{-x}}\)
skąd
\(\displaystyle{ y_2'' = Ae^{-x}(x - 2)}\)
Wstawiając powyższe do równania (1), otrzymujemy
\(\displaystyle{ -2A e^{-x} = e^{-x} A = - \frac{1}{2}}\)
Mamy zatem \(\displaystyle{ y_2 = - \frac{1}{2}xe^{-x}}\)
Następnie równanie (2):
\(\displaystyle{ y_3 = a x e^x}\)
skąd
\(\displaystyle{ y_3'' = a e^x(x+2)}\)
Wstawiając powyższe do równania (2), otrzymujemy
\(\displaystyle{ 2ae^x = 3e^x a = \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ y_3 = \frac{3}{2}x e^x}\)
Ostatecznie całką ogólną jest
\(\displaystyle{ y = y_1 + y_2 + y_3 = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - \frac{1}{2}xe^{-x} + \frac{3}{2}x e^x}\)

Mam nadzieję, że po przeanalizowaniu tego rozwiązania, temat równań różniczkowych liniowych niejednorodnych rzędu drugiego o współczynnikach stałych będzie dla Ciebie nieco bardziej zrozumiały.
W razie pytań - pisz!

[nicniewiem]

No dziekuje slicznie. Juz zaczynam cos kapowac. Z poczatku wydawalo sie gorsze a to takie w miare proste. Dziekuje jeszcze raz:)

[LecHu :)]

Dla porównania wyników w 2 wyszło mi:
\(\displaystyle{ y=C_{2}e^{-3x}+C_{1}-\frac{1}{2}e^{-x}+\frac{5}{3}x}\)

[nicniewiem]

w \(\displaystyle{ y^{\prime \prime}- 2^{\prime}+y=x^{2}+3x+sinx}\)
robie:
\(\displaystyle{ r^{2}-2r+1=0}\) czyli \(\displaystyle{ (r-1)^{2}=0}\)
wychodzi mi:
\(\displaystyle{ r_0,_1={1}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ y_{1}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{x}x}\)
i teraz mam dwa przewidywania:
\(\displaystyle{ x^{2}+3x\ i\ sinx}\)
czyli z 1 mam:
\(\displaystyle{ y_{2}=Ax^{2}+Bx+C}\) a z drugiego bedzie \(\displaystyle{ y_{3}=Dcosx+Esinx}\)
policzyc z tego potem pochodne i policzyc A,B,C,D i E i to koniec bedzie tak, tzn
\(\displaystyle{ y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{x}x+Ax^{2}+Bx+C+Dcosx+Esinx}\) ?

[matteuszek]

dokładnie tak:)