pochodna, przebieg zmienności funkcji, granica

[kukula1983]

Mam 4 przykładowe zadania na kolokwium z analizy, pierwsze zadanie jest z pochodnej wiec wrzucam je tutaj
Jeżeli możecie je rozwiązać byłbym bardzo wdzięczny
Prośbę miałbym jeszcze jak byście mogli pokrótce wytłumaczyć każde zadanie
Z góry dziękuję
Oto one:

1. Sprawdź z definicji czy w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\) = 2 istnieje pochodna funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x+2 \qquad dla \qquad x\leqslant2\\x^2 \qquad dla \qquad x> 2\end{cases}}\)

2. Znajdż wszystkie ekstrema (lokalne i globalne) funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2-1}{x}}\)

3. Korzystając z reguły de L'Hospitala oblicz
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}=\frac{sin3x}{sin5x}}\)

4. Zbadaj przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ f(x) = -xe^x}\)

[matteuszek]

Zadanie 4:
\(\displaystyle{ f(x) = -xe^x\\
f'(x)=-e^x(1+x)\\
teraz:\\
f'(x)=0\\
-e^x(1+x)=0\\
x=0; \ x=-1\\}\)
wiec jest rosnąca
\(\displaystyle{ f(x)\searrow \ x (-\infty,-1) \cup (0,\infty)\\
f(x)\nearrow \ x (-1,0)}\)
zadanie:
jdż wszystkie ekstrema (lokalne i globalne) funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2-1}{x}\\
f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\\
x_1=1-min \ lokalne\\
x_2=-1-max \ lokalne \\}\)
globalne to +/- nieskończoność

zad 3 nie ma sensu to nie ma tam n pewnie się pomyliłeś.

[kukula1983]

Rzeczywiście źle napisałem 3 zadanie
a oto prawidłowe:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \pi}=\frac{sin 3x}{sin 5x}}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} \overset{H}{=} \lim_{x \to \pi} \frac{3 \cos 3x}{5 \cos 5x} = \frac{3}{5}}\)


ad 2.
\(\displaystyle{ D_f = R \backslash \{ 0 \}}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{2x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2}\\
f'(x) = 0 x D_f \iff x \o}\)
Funkcja nie ma ekstremów.