pochodne cząstkowe

[AniaPe]

wyznaczyc pochodne czastkowe :

\(\displaystyle{ f(x,y)=(y^{2}-x)e^{-x}}\)

[ Dodano: 19 Czerwca 2007, 11:59 ]
a) wyznaczyć gradient funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=2xe^{1-y^{2}}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x=(1,1)}\) i podac jego interpretację
b) napisać równanie warstwicy funkcji f przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ x=(1,1)}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-x}(x - y^2 - 1)\\
\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y e^{-x}}\)

[dh10]

Ale autorce postu chodziło chyba o policzenie gradientu dla funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=2xe^{1-y^2}}\)

\(\displaystyle{ (\nabla f)_{(1,1)}=\left[2e^{1-y^2},-4xye^{1-y^2}\right]_{(1,1)}=[2,-4]}\)

Natomiast odnośnie tej warstwicy to \(\displaystyle{ f(1,1)=2}\) a wiec warstwica jest postaci \(\displaystyle{ 2xe^{1-y^2}=2}\)

[luka52]

dh10, no tak - nie zauważyłem

[AniaPe]

Dziekuje bardzo za rozwiazania!!

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-x}(x - y^2 - 1)\\
\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y e^{-x}}\)

nie wiem dlaczego ale w pochodnej po x wyszlo mi inaczej:( moje rozwiazanie:

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-x}(-x + y^2 - 1)\\
\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y e^{-x}}\)

mam 2 ksiazki i jedne notatki i wszedzie te pochodne sa obliczane w inny sposob:(
W tym przypadku mnoze oba czynniki funkcji przez siebie a nastepnie wg wzoru na mnozenie pochodnych obliczam pochodne czastkowe? tak zrobilam ...

[ Dodano: 19 Czerwca 2007, 13:06 ]
odnoscie gradientu to rozumiem, ze licze pochodne czastkowe i podstawiam za (x,y) podany punkt
a wyznaczajac warstwice, podstawiam podany punkt do funkcji wyjsciowej

A jaka jest interpretacja?

[luka52]

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = (y^2 - x)'_x e^{-x} + (y^2 - x) (e^{-x})'_x = (-1) e^{-x} + (-(y^2 - x))e^{-x} = (-1)e^{-x} + (x - y^2)e^{-x} = e^{-x}(x-y^2 - 1)}\)

[artam]

a w pochodnej po y dodaj minus przed wszystkim

[AniaPe]

A skad bierze sie ten ""-"" w srodku??
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = (y^2 - x)'_x e^{-x} + (y^2 - x) (e^{-x})'_x = (-1) e^{-x} + (""-""(y^2 - x))e^{-x} = (-1)e^{-x} + (x - y^2)e^{-x} = e^{-x}(x-y^2 - 1)}\)

[ Dodano: 19 Czerwca 2007, 13:41 ]
z tego \(\displaystyle{ e^{-x}}\) ?

[dh10]

Tak minus bierze sie z \(\displaystyle{ e^{-x}}\) bo pochodna tego wynosi \(\displaystyle{ -e^{-x}}\)

A co do gradientu to wskazuje on kierunek najszybszego wzrostu tej funkcji

[AniaPe]

Dzieki wielkie

[ Dodano: 19 Czerwca 2007, 21:15 ]
Zad1. Znależć największą i najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=xy^{2}-4xy-5}\) na trójkącie o wierzcholkach \(\displaystyle{ A(-2,0) B(2,0) C(0,4)}\)

Wyznaczylam pochodne czastkowe i wyszly mi punkty \(\displaystyle{ P1(0,0) i P2(0,4)=C}\)
dalej wyznaczylam pochodne czatkowe 2go rzędu
zapisalam w postaci macierzy i wyliczylam wyznacznik
pod wyznacznik czyli \(\displaystyle{ det(f")=-4y^{2}+16y-16}\) podstawilam punkty P1 i P2 i w obu przypadkach \(\displaystyle{ det}\)czyli ekstrema nie istnieja ?
obawiam sie, ze robie cos zle wiec gdyby ktos to u mial to prosze o pomoc


Zad2. Stosując matodę mnożników Lagrange'a wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji: \(\displaystyle{ f(x,y)=2x+y}\) przy warunku \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-5=0}\)

A to zadanie calkiem zle wychodzi ;/ help! ...

[ Dodano: 20 Czerwca 2007, 11:46 ]
zad z mnoznikami pana L. nikt nie umie?

[artam]

Tworzysz funkcję pomocniczą Lagrange'a:
\(\displaystyle{ F(x,y)=f(x,y)-\alpha g(x,y)}\)
czyli u ciebie:
\(\displaystyle{ F(x,y)=2x+y-\alpha \left( x^2+y^2-5\right)}\)
Zakłądamy, że \(\displaystyle{ \alpha\neq 0}\), żeby w ogóle uwzględnić warunek (to ważne, bo raz - w tym leży istota zadania, dwa - później wolno dzielić przez \(\displaystyle{ \alpha}\) )

Dalej liczysz pochodne cząstkowe dla funkcji F:
\(\displaystyle{ F'_x(x,y)=2-2\alpha x}\)
\(\displaystyle{ F'_y(x,y)=1-2\alpha y}\)

Chcemy, żeby punkty stacjonarne spełniały też warunek, więc rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}2-2\alpha x=0\\ 1-2\alpha y=0\\ x^2+y^2=5 \end{array} \right.}\)
Najszybciej to rozwiązać, wyliczając x i y z pierwszych dwóch i podstawiając do trzeciego. Ostatecznie dostajesz rozwiązania:
\(\displaystyle{ P_1(2,4)\ \, dla\ \, \alpha=\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ P_2(-2,-4)\ \, dla\ \, \alpha=-\frac{1}{2}}\)

Potem jest taki łatwy sposób:
liczy sie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu z warunku oraz pochodne cząstkowe II rzędu z funkcji F i ustawia w wyznacznik:
\(\displaystyle{ V=-\left|\begin{array}{rrr} 0& g'_x & g'_y\\ g'_x & F''_{xx} & F''_{xy}\\
g'_y & F''_{yx} &F''_{yy} \\\end{array}\right|}\)
To wszystko w wyznaczniku zależy oczywiście od współrzędnych punktu stacjonarnego i parametru \(\displaystyle{ \alpha}\). Podstawiasz sobie odpowiednie współrzędne i teraz:
jeśli ten wyznacznik jest dodatni, to w punkcie wychodzi minimum warunkowe, a jeśli ujemny, to maksimum warunkowe.

W twoim zadaniu wyznacznik ten będzie miał postać:
\(\displaystyle{ V=-\left|\begin{array}{rrr} 0& 2x & 2y\\ 2x &-2\alpha & 0\\
2y &0 &-2\alpha \\\end{array}\right|}\)

Tą metodą pójdzie ci każde zadanie z ekstremami warunkowymi dla funkcji dwóch zmiennych.