maksymalna wartosc funkcji

dabros · Post autor: **dabros** » 31 sty 2007, o 23:22

witam, mam problem z nastepujacym zadaniem:
***wyznacz max funkcji: f(x)= x^16 - x^18 , dla x nalezy do (0;1)
bede wdzieczny za odppowiedz i rozwiazanie

artam · Post autor: **artam** » 31 sty 2007, o 23:44

Jeśli znasz pochodne, to sprawa jest prosta:

policz pochodną: \(\displaystyle{ f'(x)=16x^{15}-18x^{17}}\)
znajdź punkty stacjonarne: \(\displaystyle{ f'(x)=0 \Longleftrightarrow x=0 x=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}}\)
do przedziału, do którego chcesz się ograniczyć, nalezy tylko jeden z nich: \(\displaystyle{ x=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\)
teraz druga pochodna lub badanie znaku pierwszej - robie przez druga pochodną:
\(\displaystyle{ f''(x)=16\cdot 15 x^{14} - 18\cdot 17 x^{16}}\)
\(\displaystyle{ f''(\frac{2\sqrt{2}}{3})=(\frac{2\sqrt{2}}{3})^{14}\cdot (-32)}\)

Puzon · Post autor: **Puzon** » 1 lut 2007, o 08:16

jeśli jest do wyznaczenia wartość największa lub najmniejsza na przedziale, to koniecznie trzeba sprawdzić wartości funkcji na krańcach przedziału i w extremach
czyli jeśli
\(\displaystyle{ x \langle0;1\rangle}\) -przedział domknięty obustronnie (dabros pisał otwarty ale..)
to łatwo policzymy
\(\displaystyle{ f(0)=0 \\
f(1)=0 \\oraz\\
f ft(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^{16}-\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^{18}=\frac{16777216}{43046721} -\frac{134217728}{387420489} 0,04330492701432}\)
zatem w 0 i w 1 jest najmniejsza wartość funkcji
a w \(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{2}}{3}}\) największa
na przedziale \(\displaystyle{ \langle0;1\rangle}\)

dabros · Post autor: **dabros** » 2 lut 2007, o 21:50

niestety nie znam pochodnych;
skad wiadomo, w ktorym punkcie funkcja osiaga maksimum lokalne?

Doktor · Post autor: **Doktor** » 2 lut 2007, o 22:02

gdzie pochodna jest równa zero i pochodna zmienia wartośc czyli albo przed ekstremum jest 0 ( funkcja rośnie) to jest minimum
lub odwrotna sytuacja bedzie maksimum, lub tak jak przedmówca napisał z drugiej pochodnej można sprawdzić ale ten sposób chyba bardziej obrazowy ;P

artam · Post autor: **artam** » 21 cze 2007, o 00:43

Druga pochodna opisuje dokładnie to co mówisz.
Przecież II pochodna funkcji to pochodna pochodnej, a zatem - mówi o monotoniczności I pochodnej. Jeśli więc II pochodna jest dodatnia (jeśli mamy funkcję 2 razy różniczkowalną, to musi być dodatnia nie tylko w punkcie stacjonarnym, ale tez dookoła niego, tylko nie możemy za daleko odejść), to znaczy, że I pochodna jest rosnąca. Jeśli ją rozważamy w ot. punktu stacjonarnego w którym I pochodna jest równa zero, to znaczy, że na lewo od tego punktu I pochodna jest przyjmuje wartości ujemne, a na prawo wartości dodatnie. Czyli funkcja ma minimum w tym punkcie. To dokładnie jest to, co napisałeś, Doktorze