Udowodnij, że warstwy lewostronne(lub prawostronne) grupy G względem podgrupy H są rozłączne lub identyczne.
A także drugi od razu:
Czy zbiór postaci: \(\displaystyle{ Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2} : a,b Q\}}\)
z naturalnymi operacjami dodawania i mnożenia, gdzie Q jest zbiorem liczb wymiernych, jest ciałem? Jeżeli tak - udowodnić. Jeżeli nie - uzasadnić.
Dowodzenie to jest moja słaba strona, dlatego byłbym wdzięczny z opisu krok po kroku
[ Dodano: 20 Czerwca 2007, 21:36 ]
Mam dowód na pierwsze....
Niech H = <H,○,e> bedzie podgrupą grupy G = <G,○,e>, a aH i bH będą dowolnymi warstwami lewostronnymi. Pokażemy, że jeśli warstwy te mają wspólny element, to są identyczne.
Jeżeli warstwy aH i bH. mają wspólny element to dla pewnych ha,hb ∈ H:
aha = bhb
Wyliczmy więc a:
a = bhbha-1
Weżmy dowolny element x = ahx ∈ aH. Kolejno liczymy:
x = ahx = (bhbha-1)hx = b(hbha-1hx).
Więc x ∈ bH.
Pokazaliśmy więc aH bH.
Postępując analogicznie wykazujemy, że bH aH. Warstwy są więc równe.
Mam propozycję na dowód, że dwie warstwy lewostronne są sobie równe lub rozłączne.
Niech \(\displaystyle{ a,b\in G}\). Załóżmy, że warstwy aH i bH mają wspólny element c. Pokażemy, że aH = bH. Niech \(\displaystyle{ g\in aH}\). Wtedy g = ah dla pewnego \(\displaystyle{ h\in H}\). Ponieważ \(\displaystyle{ c\in aH\cap bH}\). istnieją \(\displaystyle{ h_{1}}\), \(\displaystyle{ h_{2}}\) takie, że c = a\(\displaystyle{ h_{1}}\) = b\(\displaystyle{ h_{2}}\). Stąd mamy:
gdzie \(\displaystyle{ h_{2}h_{1}^{-1}h\in H}\), więc \(\displaystyle{ g\in bH}\). Stąd \(\displaystyle{ aH\subseteq bH}\). Zamieniając rolami a i b otrzymujemy inkluzję w drugą stronę, co kończy dowód.
[ Dodano: 28 Czerwca 2007, 16:00 ]
Zbiór \(\displaystyle{ Q(\sqrt2)}\) ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem jest ciałem. Ciałem jest pierścień z jednością, gdzie \(\displaystyle{ 0_R\neq 1_R}\) i każdy \(\displaystyle{ element\neq 0}\) musi być odwracalny.
