Dwie proste całeczki

[divii]

Mógłby mi ktoś podać gotowe rozwiązania takich dwóch całek:

1)\(\displaystyle{ \int\sin^5xdx}\)
2)\(\displaystyle{ \int\frac{x^3+x+1}{x(x^2+1)}dx}\)

[LecHu :)]

2)
\(\displaystyle{ =x+ln|x|+ln(cos(arctg(x)))+C}\)

[max]

1) \(\displaystyle{ -\frac{\cos^{5} x}{5} + \frac{2\cos^{3} x}{3} - \cos x + C}\)
2) \(\displaystyle{ x + \ln |x| - \tfrac{1}{2}\ln (x^{2} + 1) + C}\)

[divii]

Mnie w 2) wychodzi:
\(\displaystyle{ ln|x^3+x|-\frac{3}{2}ln(x^2+1)+x+C}\)
Jak rozwiązywaliście tą całkę?

[LecHu :)]

Rozbicie całki na trzy różne, dwie pierwsze z tablic ostatnia:
\(\displaystyle{ \int\frac{x}{x^{2}+1}}\)
Podstawienie t=arctgx

[max]

\(\displaystyle{ \int \frac{x^{3} + x + 1}{x(x^{2} + 1)}\,dx = \int \frac{x(x^{2} + 1) + 1}{x(x^{2} + 1)}\,dx =\\
= \int \left(1 + \frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\,dx = x + \ln |x| - \tfrac{1}{2}\ln (x^{2} + 1) + C}\)

[ Dodano: 20 Czerwca 2007, 16:40 ]
W sumie wyszło na prawie to samo - LecHu postawił wartość bezwzględną nie tam gdzie trzeba - po poprawce wystarczy zróżniczkować oba wyniki, aby sprawdzić, że są poprawne,

[divii]

W do mojego wyniku wkradł się mały błąd, już go poprawiłem (zamiast \(\displaystyle{ 6ln(x^2+1)}\) powinno być \(\displaystyle{ \frac{3}{2}ln(x^2+1)}\)). Teraz powinnien być dobry, po zróżniczkowaniu wychodzi początkowa wartość.

[max]

Wyszło Ci dokładnie tyle co mi, bo:
\(\displaystyle{ \ln|x^{3} + x| = \ln |x| + \ln (x^{2} + 1)}\)