obliczyć
\(\displaystyle{ d^{2}_{(2,1)} z\ jezeli\ z=x*acttg \frac{x}{2y}}\)
z góry dziękuje za wszelką pomoc
druga różniczka
-
artam
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 17:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 3 razy
druga różniczka
Rozumiem, że ta funkcja zawiera arcusa tangensa?
Do drugiej różniczki potrzebujesz pochodnych cząstkowych drugiego rzędu:
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x}=arctg\frac{x}{2y}+\frac{2xy}{x^2+4y^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2x^2}{x^2+2y^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{4y^2-x^2}{y(x^2+4y^2)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{12x^3-16xy^2}{y(x^2+4y^2)^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=-\frac{4x(x^2-2y^2)}{(x^2+2y^2)^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{8x^2y^2}{y(x^2+2y^2)^2}}\)
Druga różniczka ma ogólną postać:
\(\displaystyle{ d^2_{(a,b)}z(h_1,h_2)=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(a,b)\cdot h_1^2+\left( \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}(a,b)+\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}(a,b)\right)\cdot h_1h_2+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(a,b))\cdot h_2^2}\)
Policz wartości pochodnych czątkowych w punkcie \(\displaystyle{ (a,b)=(2,1)}\) i podstaw.
Do drugiej różniczki potrzebujesz pochodnych cząstkowych drugiego rzędu:
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial x}=arctg\frac{x}{2y}+\frac{2xy}{x^2+4y^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2x^2}{x^2+2y^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{4y^2-x^2}{y(x^2+4y^2)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{12x^3-16xy^2}{y(x^2+4y^2)^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=-\frac{4x(x^2-2y^2)}{(x^2+2y^2)^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{8x^2y^2}{y(x^2+2y^2)^2}}\)
Druga różniczka ma ogólną postać:
\(\displaystyle{ d^2_{(a,b)}z(h_1,h_2)=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(a,b)\cdot h_1^2+\left( \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}(a,b)+\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}(a,b)\right)\cdot h_1h_2+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}(a,b))\cdot h_2^2}\)
Policz wartości pochodnych czątkowych w punkcie \(\displaystyle{ (a,b)=(2,1)}\) i podstaw.