calki

[kerim]

Jak najprosciej policzyc te calki:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sin^4 x}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sin^2x cos^4x}}\)

czy przez standardowe podstawienie:\(\displaystyle{ t=tg x}\) (czy przez to podstawienie sie da)

i czy może jakies inne sposoby, przez jakies przeksztalcenia ?

[max]

Podstawienie to sprowadza podane całki do całek funkcji wymiernych - więc się da i to całkiem prosto.
Np druga:
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sin^{2}x \cos^{4}x} = \int \frac{\frac{1}{\cos^{2}x }dx}{\tan^{2}x\cos^{4}x} =\int \frac{dt}{t^{2}\cdot \frac{1}{(1+t^{2})^{2}}} = \int\frac{t^{4} + 2t^{2} + 1}{t^{2}}dt =\\
= \tfrac{1}{3}t^{3} + 2t - t^{-1} + C = \tfrac{1}{3}\tan^{3}x + 2\tan x -\cot x + C}\)

A tak swoją drogą to bardziej 'standardowym' podstawieniem jest podstawienie:
\(\displaystyle{ t = \tan \tfrac{1}{2}x}\)
(działa zawsze dla całek funkcji postaci \(\displaystyle{ R(\sin x, \cos x)}\) gdzie \(\displaystyle{ R(u,v)}\) to funkcja wymierna zmiennych \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\))
Zobacz też:

albo zajrzyj do Fichtenholza ("Rachunek różniczkowy i całkowy" t.2 [286])

[bolo]

W przypadku parzystych potęg \(\displaystyle{ \sin{x}}\) czy \(\displaystyle{ \cos{x}}\), podstawienie \(\displaystyle{ t=\tan{x}}\) jest właśnie lepsze od \(\displaystyle{ t=\tan\frac{x}{2}}\).

[max]

No tak, pisząc 'bardziej standardowym' miałem na myśli jedynie: 'mającym szersze zastosowanie'.

[kerim]

A te całki to jakimi sposobami najlepiej(najłatwiej) ?

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(2+sin^2 x)^2}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sinx \sqrt[]{1+cosx}}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{cosx}{25+sin^2}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{cosx }{\sqrt[]{1+ sinx}}dx}\)

i jak jeszcze obliczyc pole ograniczone 3 krzywimi postaci:
\(\displaystyle{ y=x^2}\)

\(\displaystyle{ y= {1 \over 2} x^2}\)

\(\displaystyle{ y=3x}\)

Jakim sposobem to zrobic ?

wielkie dzieki za pomoc

[LecHu :)]

Tą ostatnią:
\(\displaystyle{ \sqrt{sinx+1}=t}\)
Po podstawieniu itd. otrzymujesz całkę z dt.

[max]

W pierwszej można podstawić \(\displaystyle{ t = \tan x}\)
W drugiej można analogicznym podstawieniem jak w ostatniej, ale będzie trochę więcej roboty:
\(\displaystyle{ t = \sqrt{1 + \cos x}\\
\cos^{2}x = (t^{2} - 1)^{2}\\
\sin^{2}x = 1 - (t^{2} - 1)^{2} = (2 - t^{2})t^{2} = -(t^{2}- 2)t^{2}\\
dt = -\frac{\sin x\, dx }{2\sqrt{1 + \cos x}}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin x \sqrt{1 + \cos x}} = -2\int\frac{-\sin x\, dx}{2\sqrt{1 + \cos x}\sin^{2}x} =\\
= 2\int\frac{dt}{t^{2}(t^{2} - 2)} = \int \left(\frac{1}{t^{2} - 2} - \frac{1}{t^{2}}\right)\,dt}\)
itd...
w trzeciej można podstawić \(\displaystyle{ t = \sin x}\)

[kerim]

a jak bedzie z tym obszarem miedzi krzywkimi ?