dobrać parametr by szereg był zbieżny

[rObO87]

Zbadaj dla jakiego parametru \(\displaystyle{ a}\) szereg jest zbieżny. Jak to ruszyć?

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{na^n}{5^n}\cos(n\pi)}\)

[max]

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \cos n\pi = (-1)^{n}}\)
i dalej wykaż, że jest zbieżny dla \(\displaystyle{ a\in (-5,5)}\) (np poprzez pokazanie zbieżności bezwzględnej z np kryterium d'Alemberta lub z kryt ilorazowego, albo poprzez skorzystanie z tw Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego) a rozbieżny dla \(\displaystyle{ a\in (-\infty,- 5)\cup(5,+\infty)}\) (nie spełnia wtedy warunku koniecznego zbieżności).

[rObO87]

Skąd mam wiedzieć, że a jest w takim przedziale jak napisałeś?

[max]

Pytasz skąd wziąłem przedziały?... to można zauważyć, np badając dla jakich \(\displaystyle{ a}\) zajdzie warunek konieczny zbieżności.

[rObO87]

Ja niestety należe do tych co "łatwo nie zauważają" więć jak się da to proszę o dokładniejsze obliczenia

[max]

Skorzystamy z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = 0 \iff \lim_{n\to\infty} |a_{n}| = 0}\)
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_{n}}\) wyraz ogólny szeregu, mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} |a_{n}| = \lim_{n\to \infty}\left|\frac{(-1)^{n}na^{n}}{5^{n}}\right| = \lim_{n\to\infty}n\cdot \left(\frac{|a|}{5}\right)^{n}}\)
i teraz jeśli \(\displaystyle{ \frac{|a|}{5} }\) czyli \(\displaystyle{ a \in (-5,5)}\), to ciąg \(\displaystyle{ |a_{n}|}\) zbiega do zera, a w innym przypadku jest rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\).
Stąd warunek konieczny zbieżności:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_{n} = 0}\)
zachodzi wtw gdy \(\displaystyle{ a \in (-5, 5)}\)
Dalej, aby wykazać zbieżność (bezwzględną) dla \(\displaystyle{ a}\) z tego przedziału posłużymy się kryterium d'Alemberta. Tworzymy ciąg:
\(\displaystyle{ |\mathcal{D}_{n}| = \frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|}}\) i badamy jego granicę w nieskończoności:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n + 1)\cdot |a|^{n + 1}\cdot 5^{n}}{n\cdot |a|^{n}\cdot 5^{n + 1}} =\lim_{n\to\infty} \frac{(1 + \frac{1}{n})\cdot |a|}{5} = \frac{|a|}{5} }\)
zatem badany szereg jest dla \(\displaystyle{ a\in (-5, 5)}\) zbieżny.