Zbadaj ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f}\) w dziedzinie, podaj zbiór punktów nieciągłości i typ nieciągłości.
\(\displaystyle{ f(x)\begin{cases}\frac{x^2-25}{x+5}\ dla \ \ \ x\neq -5\\ 10 \ \ \ \ \ dla \ \ \ x=-5\end{cases}}\)
z gory serdecznie dziękuje
badanie ciągłości funkcji w dziedzinie.
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
badanie ciągłości funkcji w dziedzinie.
Oczywiście \(\displaystyle{ \mathbb{D}_{f} = \mathbb{R}}\)
Na mocy ciągłości funkcji elementarnych funkcja jest ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}\setminus \{-5\}}\). W punkcie \(\displaystyle{ x = - 5}\) znajduje się nieciągłość pierwszego rodzaju ('skok', czyli granica funkcji w tym punkcie różni się od wartości funkcji w tym punkcie), bo
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -5} \frac{x^{2} -25}{x + 5} = \lim_{x\to -5} \frac{(x-5)(x + 5)}{x + 5} =\lim_{x\to -5} (x - 5) = -10 \neq 10 = f(-5)}\)
Na mocy ciągłości funkcji elementarnych funkcja jest ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}\setminus \{-5\}}\). W punkcie \(\displaystyle{ x = - 5}\) znajduje się nieciągłość pierwszego rodzaju ('skok', czyli granica funkcji w tym punkcie różni się od wartości funkcji w tym punkcie), bo
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -5} \frac{x^{2} -25}{x + 5} = \lim_{x\to -5} \frac{(x-5)(x + 5)}{x + 5} =\lim_{x\to -5} (x - 5) = -10 \neq 10 = f(-5)}\)