rozwinięcie

[kerim]

Jak rozwinąc w szereg maclaurina tą funkcję: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{\sqrt[]{1 - 2x}}}\) Licząc kolejnie wychodza kosmiczne pochodne, nie będące regularne, taki mi przynajmniej one wygladają

Mam dodatkowo obliczyc całke\(\displaystyle{ \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt[]{1 - 2x}}}\) wykorzystujac to rozwinięcie.

Może ktoś mi pomóc, nie mam pomysłu na to, z góry dzieki

[luka52]

Mi wychodzi, że
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{1-2x}} = x + x^2 + \frac{3}{2}x^3 + \frac{5}{2} x^4 + \ldots}\)
Wygląda całkiem przyjemnie.
Najlepiej napisz swoje obliczenia - poszukamy błędów

[kerim]

jak to tak szybko zrobiłeś ? podaj metodę ? ja liczyłem kolejne pochodne ale to jak mówiłem kosmosy wyszły

[przemk20]

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{\sqrt{1-2x}} = x (1-2x)^{-\frac{1}{2} }}\)
zas z uogólnionego wzoru newtona
\(\displaystyle{ (1-2x)^{-\frac{1}{2} } = \sum_{n=0}^{\infty} { -\frac{1}{2} \choose n } (-2x)^n
= \\ 1 + x + \frac{3}{2} x^2 + \frac{5}{2} x^3 + ..... + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) ...(-\frac{1}{2} - k+1) }{k!}(-2x)^k + ...... \\
f(x) = x + x^2 + \frac{3}{2} x^3 + \frac{5}{2} x^4+...}\)

[luka52]

Liczymy kolejne pochodne:
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-2x}} + \frac{x}{(1-2x)^{3/2}}\\
f'(0) = 1\\
f''(x) = \frac{1}{(1-2x)^{3/2}} + \frac{1}{(1-2x)^{3/2}} + \frac{3x}{(1-2x)^{5/2}}\\
f''(0) = 2\\
f'''(x) = 2 \frac{3}{(1-2x)^{5/2}} + \frac{3}{(1-2x)^{5/2}} + \frac{15x}{(1-2x)^{7/2}}\\
f'''(0) = 9}\)
itd.
Pomimo, iż te pochodne wydają się nieciekawe, to nieco się upraszczają.

\(\displaystyle{ f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots = 0 + x + \frac{2}{2}x^2 + \frac{9}{6} x^3 + \ldots =\\ = x + x^2 + \frac{3}{2}x^3 + \ldots}\)

[kerim]

@luka52 , na jakiej podstawie wyciagnołeś podany wzór w tych pochodnych ?

@przemek, czy to rozwiniecie zaproponowane przez Ciebie jest dobre

Cos mi się obiło z tym Newtonem ale nie wiem kiedy sie jest stosuje, moge prosic o jakieś wyjaśnienie, wzory do tego typu rozwiniec.

[luka52]

na jakiej podstawie wyciagnołeś podany wzór w tych pochodnych ?

Obliczyłem
Np. tak
\(\displaystyle{ \left( x (1-2x)^{-1/2} \right)' = (1-2x)^{-1/2} - \frac{x}{2} \frac{-2}{(1-2x)^{3/2}}}\)
Pochodna iloczynu.

[max]

zas z uogólnionego wzoru newtona
\(\displaystyle{ (1-2x)^{-\frac{1}{2} } = \sum_{n=0}^{\infty} { -\frac{1}{2} \choose n } x^n
= 1 - \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^2 - \frac{5}{16} x^3 + ... + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) ...(-\frac{1}{2} - k) }{k!} + .. \\
f(x) =x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{3}{8} x^3 - \frac{5}{16} x^4 +...}\)

Tylko, że:
\(\displaystyle{ (1-2x)^{-\frac{1}{2} } = \sum_{n=0}^{\infty} { -\frac{1}{2} \choose n } (-2)^{n}x^n}\)
I jeszcze:
\(\displaystyle{ {r\choose k} = \frac{r^{\underline{k}}}{k!} = \frac{r\cdot (r - 1)\cdot \ldots (r - k + 1)}{k!}}\)

kerim - zobacz

[kerim]

dalej tego nie widzę, obliczyłeś pochodna f(x) po prostu może jakiś komentarza zamieścisz jak dasz radę (wiem że strasznie cięzko pisemnie) .

[luka52]

\(\displaystyle{ f(x) = x(1-2x)^{-1/2}\\
f'(x) = \left( x \right)' (1-2x)^{-1/2} + x \left( (1-2x)^{-1/2} \right)' =\\ = (1-2x)^{-1/2} + x \cdot\left( - \frac{1}{2} \right) (1-2x)^{-3/2} \cdot (-2) = \\
= (1-2x)^{-1/2} + x(1-2x)^{-3/2}}\)
Następnie druga pochodna:
\(\displaystyle{ f''(x) = \left( (1-2x)^{-1/2} \right)' + \left( x(1-2x)^{-3/2} \right)'}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \left( (1-2x)^{-1/2} \right)'}\) zostało już obliczone gdy wyznaczaliśmy pierwszą pochodną, możemy zapisać:
\(\displaystyle{ f''(x) = (1-2x)^{-3/2} + \left( x(1-2x)^{-3/2} \right)' = (1-2x)^{-3/2} + (x)'(1-2x)^{-3/2} + x \left( (1-2x)^{-3/2} \right)' = 2 (1-2x)^{-3/2} + x \left( (1-2x)^{-3/2} \right)' =\\
= 2\cdot (1-2x)^{-3/2} + x \left(- \frac{3}{2} \right) (1-2x)^{-5/2}\cdot (-2) = \ldots}\)
itd., itp.
Prościej nie potrafię tego zapisać.

[kerim]

No tak cięzko to zapisac, ale cos juz rozumiem, tylko nie wiem jak ten wzor wykorzystac do oblicznia całki ...

[LecHu :)]

Całkujesz kolejne wyrazy rozwinięcia