Rozwiąż równania różniczkowe typu y' = f(ax+by+c):
a) y' = 3x+2y+4
b) \(\displaystyle{ y' = (x-y)^2}\)
Poprawiłem zapis. luka52
równania różniczkowe
równania różniczkowe
Ostatnio zmieniony 12 cze 2007, o 18:45 przez Lukas:), łącznie zmieniany 1 raz.
-
LecHu :)
- Użytkownik
- Posty: 908
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 23:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BFGD
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 162 razy
równania różniczkowe
a)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=3x+2y+4}\)
\(\displaystyle{ u=3x+2y+4}\)
Różniczkujemy obustronnie po x-ie:
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx}=2\frac{dy}{dx}+3}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx}=2u+3}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{du}{2u+3}}\)
Całkujemy obie strony:
\(\displaystyle{ x+C_{1}=\frac{1}{2}(ln(2u+3)+C_{2}}\)
Podstawiamy za u:
\(\displaystyle{ ln(6x+4y+11)+2C_{2}=2(x+C_{1})}\)
\(\displaystyle{ e^{2(x+C_{1}-C_{2})}=6x+4y+11}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}[e^{2(x+C_{1}-C_{2})}-4y-11]}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=3x+2y+4}\)
\(\displaystyle{ u=3x+2y+4}\)
Różniczkujemy obustronnie po x-ie:
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx}=2\frac{dy}{dx}+3}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx}=2u+3}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{du}{2u+3}}\)
Całkujemy obie strony:
\(\displaystyle{ x+C_{1}=\frac{1}{2}(ln(2u+3)+C_{2}}\)
Podstawiamy za u:
\(\displaystyle{ ln(6x+4y+11)+2C_{2}=2(x+C_{1})}\)
\(\displaystyle{ e^{2(x+C_{1}-C_{2})}=6x+4y+11}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}[e^{2(x+C_{1}-C_{2})}-4y-11]}\)