podzielnosc - zadania

[karoline]

Prosze o pomoc w rozwiązaniu tych zadań ...dzięki z góry ;]


1. Reszty z dzielenia przez 5 liczb naturalnych a,b,c,d wynoszą odpowiednio 1,2,3,4. Wyjkaż że suma liczb a,b,c,d jest podzielna przez 5 .

2. Uzasadnij że liczba \(\displaystyle{ 3^{n +2} + 3^{n}}\) jest podzielna przez 10 dla kazdej liczby naturalnej n .

3. Z liczby dwucyfrowej a utworzono dwie liczby : pierwszą przez dopisanie cyfry 1 na początku drugą przez dopisanie cyfry 1 na końcu. Uzasadnij że iloczyn otrzymanych liczb pomniejszony o liczbe a jest podzielny przez 10.

Poprawiam zapis. Calasilyar

[Justka]

Ad.2
\(\displaystyle{ 3^{n+2}+3^n=3^n(3^2+1)=3^n\cdot 10}\)
Więc napewno bedzie dzielić sie przez 10.




Ad.3
\(\displaystyle{ a=10x+y}\)
Po dopisaniu 1 na początku:
\(\displaystyle{ a_1=100+10x+y}\)
Po dopisaniu 1 na końcu
\(\displaystyle{ a_2=100x+10y+1}\)
I teraz:
\(\displaystyle{ n=a_1 a_2-a}\) ma byc podzielne przez 10
więc sprawdzamy

\(\displaystyle{ n=(100+10x+y)(100x+10y+1)-(10x+y)\\
n=10000x+1000y+100+1000x+100xy+10x+100xy+10y^2+y-10x-y\\
n=10(1100x+100y+20xy+y^2+10)}\)
Więc liczba ta dzieli sie przez 10




Ad.1
Hm.. a nie miało byc przypadkiem, że reszty z dzielenia wynosza kolejno 1,2,3,4 bo tak jak podałaś to suma nie bedzie podzielna przez 5
Zauwaz że jeśli podzielimy liczbę k przez np. 2 i otrzymamy resztę r to liczbę ta mozna zapisać w postaci k=2n+r
A więc przejdzmy do zadania:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a=5n+1\\ b=5n+2 \\ c=5n+3 \\ d=5n+4\end{cases}}\)
Po dodaniu stronami wychodzi
\(\displaystyle{ a+b+c+d=5n+5n+5n+5n+1+2+3+4\\
a+b+c+d=20n+10\\
a+b+c+d=10(10n+1)}\)
Z tego wynika że suma tych liczb jest podzielna przez 5

[*Kasia]

Justka , w zadaniu 1 te liczby nie muszą być kolejne, a z Twojego zapisu tak wynika...

[segal]

Nie wiem czy tak można ale, ja zrobilbym to tak:

x-dowolna liczba podzielna przez 5
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{5}+\frac{x+2}{5}+\frac{x+3}{5}+\frac{x+4}{5}=\frac{x+1+x+2+x+3+x+4}{5}=
\frac{4x+10}{5}}\)
skoro x jest liczba podzielna przez 5 to wyrażeni 4x+10 rowniez jest podzielne przez 5

[mit]

Justka , w zadaniu 1 te liczby nie muszą być kolejne, a z Twojego zapisu tak wynika...

Ale tam jest napisane a,b,c,d i odpowiednio 1, 2, 3, 4 więc wszystko jest chyba ok

[n0need]

Ah, byłem pewny że to zadanka mi znane i znalazłem! Zadania dla 2kl. z książki Matematyka z plusem! Bardzo dobra książka - ciesz się, że prawdopodobnie i dobry nauczyciel ją wybrał

Zadanie 2. można uznac za banalne, ale zadania 1 i 3 warto zapamiętać i dogłębnie zrozumieć, bo analiza ich jest bardzo ciekawa (Sam zadanie 1 robiłem dobre 15 minutek bo nie zauważyłem tego wzoru \(\displaystyle{ k = 2n + r}\)