obliczyć granice:
1. \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3}{2x^2+y^4}}\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x+y}{x^2+y^2-xy}}\)
3. \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} x \sin(\frac{1}{x^2+y^2})}\)
granica funkcji dwóch zmiennych
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
granica funkcji dwóch zmiennych
1. Jeśli \(\displaystyle{ |x| < 1}\), to:
\(\displaystyle{ \left|\frac{x^{3}}{2x^{2} + y^{4}}\right| =\\
= \left|\frac{x}{2 + \frac{y^{4}}{x^{2}}}\right| < \left|\frac{x}{2 + y^{4}}\right| \to 0}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{\substack{x\to 0\\ y\to 0}}\frac{x^{3}}{2x^{2} + y^{4}} = 0}\)
2. Granica nie istnieje, co można wykazać obierając ciągi:
\(\displaystyle{ a_{n} = \tfrac{1}{n}\\
b_{n} = -\tfrac{1}{n}}\)
i pokazując, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}f(a_{n}, a_{n})\neq \lim_{n\to \infty}f(a_{n}, b_{n})}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(x, y) = \frac{x + y}{x^{2} + y^{2} - xy}}\)
3.
\(\displaystyle{ |x\cdot \sin \tfrac{1}{x^{2} + y^{2}}| \leqslant |x \cdot 1| \to 0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{\substack{x\to 0\\ y\to 0}}x\sin\tfrac{1}{x^{2} + y^{2}} = 0}\)
\(\displaystyle{ \left|\frac{x^{3}}{2x^{2} + y^{4}}\right| =\\
= \left|\frac{x}{2 + \frac{y^{4}}{x^{2}}}\right| < \left|\frac{x}{2 + y^{4}}\right| \to 0}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{\substack{x\to 0\\ y\to 0}}\frac{x^{3}}{2x^{2} + y^{4}} = 0}\)
2. Granica nie istnieje, co można wykazać obierając ciągi:
\(\displaystyle{ a_{n} = \tfrac{1}{n}\\
b_{n} = -\tfrac{1}{n}}\)
i pokazując, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}f(a_{n}, a_{n})\neq \lim_{n\to \infty}f(a_{n}, b_{n})}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(x, y) = \frac{x + y}{x^{2} + y^{2} - xy}}\)
3.
\(\displaystyle{ |x\cdot \sin \tfrac{1}{x^{2} + y^{2}}| \leqslant |x \cdot 1| \to 0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{\substack{x\to 0\\ y\to 0}}x\sin\tfrac{1}{x^{2} + y^{2}} = 0}\)