jak się liczy pochodną kierunkową funkcji?
np.
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3+3x^2y+y^3}\) w punkcie (1,-1) w kierunku wektora [2,1]
pochodna kierunkowa
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
pochodna kierunkowa
W przypadku różniczkowalnych funkcji dwóch zmiennych takich jak ta powyżej:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos + \frac{\partial f}{\partial y} \cos \beta}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) to kąty jakie tworzy wektor \(\displaystyle{ u}\) z kierunkami odpowiednio OX i OY.
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos + \frac{\partial f}{\partial y} \cos \beta}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) to kąty jakie tworzy wektor \(\displaystyle{ u}\) z kierunkami odpowiednio OX i OY.
-
Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 878
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
pochodna kierunkowa
Po co męczyć się z obliczaniem cosinusów kierunkowych, skoro istnieje prosty wzór:
\(\displaystyle{ f_{\vec{h}}' = \nabla f(x_0, y_0) \circ \left[ h_x, h_y \right]}\)
W tym wypadku:
\(\displaystyle{ \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right| _{(1,-1)} =3x^2+6xy = 3-6=-3 \\ \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right| _{(1,-1)} =3x^2 + 3y^2 = 3+3=6 \\ f_{\vec{h}}' =\left[-3, 6 \right] \circ \left[2, 1\right] = -6+6=0}\)
\(\displaystyle{ f_{\vec{h}}' = \nabla f(x_0, y_0) \circ \left[ h_x, h_y \right]}\)
W tym wypadku:
\(\displaystyle{ \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right| _{(1,-1)} =3x^2+6xy = 3-6=-3 \\ \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right| _{(1,-1)} =3x^2 + 3y^2 = 3+3=6 \\ f_{\vec{h}}' =\left[-3, 6 \right] \circ \left[2, 1\right] = -6+6=0}\)
